【導讀】表示，能為數(shù)學活動提供探索的平臺，為數(shù)學知識的建構提供技術支持.整合化并在各個方面培養(yǎng)學生能力.本文首先將對《幾何畫板》軟件進行系統(tǒng)的介紹，其作圖演示功能、輔助教學的優(yōu)點；然后將《幾何畫板》與幾何教學整合的實踐，分析教材改進教法，幫助學生理解基本概念，板》探究軌跡問題，更深層次的探究幾何的奧秘.與數(shù)學教學活動融為一體的效果談一些實踐方法，在提出了自己的一點看法.

　　

【正文】 ()x y x c y c? ? ? ? ?，即 222 )2()2( cycx ??? .這就是所求的軌跡方程 . 都容易被橢圓這個外表給迷惑住 .其實這個問題只與原點和點1F的坐標有關，而與橢圓的弦無任何聯(lián)系 .就是‘給定兩點 O 與1F，過這兩點作兩條互相垂直的直線，求交點的軌跡方程 .’這當然很容易解得 .在探求點的軌跡時，一定要注意設法找出動點所滿足的幾何條件，尋找動點與不動點之間的幾何關系 .平面幾何的有關結論對求點的軌跡很有用處 .下面將問題改變一下： 軌跡 2 如圖 613，求弦 AB 中點 P 的軌跡方程 .” 猜猜看，點 P 的軌跡是什么？ 利用幾何畫板演示出來：拖動主動點 A ，得到點 P 的軌跡是一個小橢圓，并且這個小橢圓的2021 屆數(shù)學與應用數(shù)學（師范類）專業(yè)畢業(yè)設計（論文） 第 17 頁 共 21 頁 長軸是線段 1OF 即半焦距 2c .如 圖 614. 是橢圓，怎樣求這個小橢圓的方程？ 圖 613 圖 614 弦 AB 中點軌跡 根據(jù)求軌跡方程的一般步驟，求哪一點的軌跡方程，就應該假設該點的坐標為 (, )xy ，因此先設 P 點坐標為 (, )xy .要建立點 P 的坐標 (x， y)滿足的方程，觀察圖形，這里有四個 點1 1 2 2 1( , ) ( , )A x y B x y P F、 、 、其中點 1F 是定點， A B P、 、 都是動點，但點 A 是主動點，引起點 P 運動的原因是由于點 A 在橢圓上運動 .因此要找到點 P 與 A B F、 、 這三個點的坐標之間的關系 .這是解決問題的關鍵 . 點 P 與 AB、 兩點的坐標的關系，根據(jù)中點坐標公式得到 2 21 xxx ?? ， 2 21 yyy ?? .” 如何將 1A B P F、 、 、 這四點的坐標聯(lián)系起來？ 利用直線的斜率 .直 線 AB 的斜率表示：有21 21 xxyyk ??? ，還有 .如 cxyk ?? 何得到 21 21 xx yy?? ？?? AB、 兩點在哪？滿足什么方程？ 在橢圓上 .滿足 22212212 bayaxb ?? ， 22222222 bayaxb ?? .” 快得到下列解法 (經(jīng)過整理 )： 設 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y P x y， 22 bac ?? ，則 2 21 xxx ?? ， 2 21 yyy ?? ， 因為點 AB、 都在橢圓上，則 22212212 bayaxb ?? ， 22222222 bayaxb ?? ， 式相減得 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0b x x x x a y y y y? ? ? ? ? ?， 于是有 cx ykya xbyy xxabxx yy ???????????? 2221 212221 21， 化簡得 1)2()2()2(2222???abcyc cx ， 此即為所求的軌跡方程 . 這是解析幾何中常用的一種求軌跡方法 —— 設而不求 .尋找動點之間的關系是求軌跡問題的幾何畫板在數(shù)學課程幾何教學設計中的應用 第 18 頁 共 21 頁 關鍵 .還有其它解法沒有？ 經(jīng)過觀察，因為直線 AB 經(jīng)過點 1F ，可以設直線 AB 的方程為()y k x c??，與橢圓方程聯(lián)立 解方 程組得出 AB、 兩點的坐標??不必解出 AB、 的坐標，將直線 AB 的方程為 ()y k x c??代入橢圓方程得到的一元二次方程的兩根就是點 AB、 的橫坐 標1x，2，正好可以利用韋達定理得到 2 21 xxx ?? ， 2 21 yyy ?? ，將點 AB、 的橫坐標都表示為直線 AB 的斜率 k 的函數(shù)，消去參數(shù) k 就行了 . 軌跡 3 如果將弦 AB 的兩端 AB、 分別與橢圓長軸兩個端點12,AA連起來，則這兩條直線 2AA與1AB 的交點 C 好 象在橢圓的準線上（ 圖 615） . 采取常規(guī)方法“交軌法”求解 ： 設直線 2AA、 1AB 的方程分別為 1()y k x a??， 2()y k x a??， 將 2AA的方程代入橢圓方程整理得 02)( 2221421322212 ????? bakaxkaxbka , 圖 615 此方程的兩根是 A 、 2A 的橫坐標 x 與 a ，故可求得 11( , )Ax y 點 坐 標 為)2,( 2212 122212 2213 bka kabbka abkaA ???? , 同理可求得 22( , )Bx y 點坐標為 )2,(2222 2222222223bka kabbka abkaB ???. 由 A、 F B 三點共線可得11 BFAF kk ?，即 cxycxy ??? 2 21 1， 將 A 、 B 兩點坐標代入并整理得 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2( + ) ( ) ( ) ( ) 0a a c k k a c a k k b a c k b c a k? ? ? ? ? ? ? ， 將 axyk ??1 ， axyk ??2 代入上式得 2021 屆數(shù)學與應用數(shù)學（師范類）專業(yè)畢業(yè)設計（論文） 第 19 頁 共 21 頁 0))()(()())(()()( 2222222 ???????????? axaxacbaxaxcabyacaycaa ， 分解因式得 0])][)(())([( 222222 ???????? baxbyaaxacaxca ， 因為直線2AA、1BA的交點在橢圓外，所以 0222222 ??? bayaxb ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) 0c x a c a x a? ? ? ? ? ?， 即 cax 2?? . 即為直線2AA、1BA的交點的軌跡方程，而這就是橢圓的準線方程 . 同樣的道理，直線 2AB與 1AA 的交點 D 也在準線上 .不管 C 、 D 兩點在左準線上怎樣運動，1CFD? 是 一個定 值 ?90 . 如圖 616 所示 . ”又 一 個學生 發(fā)現(xiàn)了一 個結論 . 同學們 利 用上個問題的解決方法，很快證明了出來 . 圖 616 課后探索：利用幾何畫板，還能探索出什么結論嗎？如果是圓、橢圓等常見軌跡 . 下面是經(jīng)過探究得到的幾條奇形怪狀的曲線： 橢圓弦心三角形三心及垂足點的軌跡 弦心三角形就是過的橢圓左焦點的弦 AB 與原點 O 所構成三角形ABO?內(nèi)心、垂心、外心的軌跡 . 軌跡 4 “ABO?的內(nèi)心的軌跡是一條‘雞蛋形’曲線 (如 圖 621 所示 ).” 軌跡 5 “ 的垂心的軌跡是一 條‘ ? ’形狀的曲線 (如 圖 622 所示 ).” 圖 621 弦心三角形 內(nèi)心軌跡 圖 622 弦心三角形 垂心軌跡 幾何畫板在數(shù)學課程幾何教學設計中的應用 第 20 頁 共 21 頁 軌跡 6“ABO?的外心的軌跡是一條‘反 ? ’形狀的曲線 (如 圖 623 所示 ).” 軌跡 7“ 中，過點 A 作 OB 的垂線，垂足的軌跡是‘兩葉花卉形’ (如 圖 624 所示 ).” 圖 623 弦心三角形 外心軌跡 圖 624 弦心三角形 垂足軌跡 橢圓弦焦三角形三心及垂足點的軌跡 弦焦三角形就是過的橢圓左焦點的弦 AB 與右焦點2F所構成三角形2ABF?內(nèi)心、垂心、外心的軌跡 . 軌跡 8 如 圖 631 作2ABF?的重心 G ，其軌跡也是一個橢圓 圖 631 弦焦三角形重心軌跡 以下是解答：設 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y G x y，則由 2( , )Fco 與 ( , )Gxy 可得 AB 中點 M 的坐標為)23,23( ycx? ， 因為 ya xbyy xxabxx yy 2221 212221 21 ?????????， 所以 ccxyyaxb???? )3(212322 ， 2021 屆數(shù)學與應用數(shù)學（師范類）專業(yè)畢業(yè)設計（論文） 第 21 頁 共 21 頁 整理得 3 222222 cbyaxb ?? ，即 222 2 22139xyc b ca?? . 軌跡 9 “2ABF?的垂心的軌跡是一條 ? 形狀的曲線 (如 圖 632所 示 ).” 軌跡 10 “2的外心的軌跡是一條‘反 ? ’形狀的曲線 (如 圖 633所示 ).” 軌跡 11“2ABF?中，過點 A 作 2BF 的垂線，垂足的軌跡是兩葉花 卉形 (如 圖 634 所示 ).” 圖 632 弦焦三角形 垂心軌跡 圖 633 弦焦三角形 外心軌跡 圖 634 弦焦三角形垂足 軌跡 橢圓過兩焦點三角形四心點的軌跡 延長2AF交橢圓于另一點 C ，聯(lián)2BF ，ABC?的重心、內(nèi)心、垂心、外心的軌跡 . 軌跡 12— 15 都是不知名的曲線 (如 圖 641～ 4 所示 ). 圖 641 兩焦點三角形重心軌跡 圖 642 兩焦點三角形內(nèi)心軌跡 幾何畫板在數(shù)學課程幾何教學設計中的應用 第 22 頁 共 21 頁 圖 643 兩焦點三角形垂心軌跡 圖 644 兩焦點 三角形外心軌跡 橢圓與雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，它們有很多相似的性質 .以上問題在雙曲線與拋物線中是不是也具有相似的結論？ 問題的研究，幾何畫板可以稱這數(shù)學實驗室 .通過這樣的實驗室，同學們可以學會怎樣去探索、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題 .象上面的軌跡問題，找到了主動點與被動點之間的關系，問題就不難解 . 事實證明，《 幾何畫板 》在數(shù)學教學中的應用， 能有效地激發(fā)學生的 數(shù)學 學習興趣，使抽象、枯燥的數(shù)學概念變得直觀、形象，使學生從害怕、厭惡數(shù)學變成對數(shù)學喜愛并樂意學數(shù)學 ，進而通過 做 “ 數(shù)學實驗 ” 去 模擬、驗證、 探索 ?? .當然，一 切優(yōu)秀的教輔軟件，其真正作用的發(fā)揮，都離不開廣大一線教學工作者在教學實踐中孜孜不倦的嘗試、實踐和反思 .正如《上海市普通中小學課程方案》（試行稿）寫道：“信息技術在學科教育中的應用是一項探索性的工作，需要在課程建設的實踐中不斷實驗、總結和研究” .讓我們廣大數(shù)學教學同行共同努力，讓數(shù)學學科與信息技術有機整合的鮮花越開越鮮艷 . 總之 ,在中學數(shù)學教學中利用《幾何畫板》輔助教學 ,可以創(chuàng)設更富有啟發(fā)性的教學情境 ,設計學生動手做數(shù)學的實驗環(huán)境 ,能靈活自如地進行變式教學 ,提高課堂教學效果 。還可以啟發(fā)學生更積極地思考 ,引導學 生自己發(fā)現(xiàn)和探索 ?使教師的“講”更多地由學生積極參與的活動所代替 .學生由“聽講”“記筆記”的被動學習方式更多地變?yōu)橛^察、實驗和主動、積極的學習方式 ,從而達到知識、能力和素質的全面提高 . 致謝 非常感謝劉老師在我大學的最后學習階段 — 畢業(yè)論文設計階段給自己的指導，從最初的定題，到資料收集，到寫作、修改，到論文定稿，他們給了我耐心的指導和無私的幫助 .為了指導我們的畢業(yè)論文，他們放棄了自己的休息時間，他們的這種無私奉獻的敬業(yè)精神令人欽佩，在此我向他們表示我誠摯的謝意 .同時，感謝所有任課老師和所有同學在這四年來給自己 的指導和幫助，是他們教會了我專業(yè)知識，教會了我如何學習，教會了我如何做人 .正是由于他們，我才能在各方面取得顯