【正文】 把抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)變得形象、直觀 動態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題，能夠化抽象為具體，化具體為形象，因而，使教學(xué)更加直觀、生動，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性 .如：在《點(diǎn)的軌跡教學(xué)》中教師可以利用《幾何畫板》制作點(diǎn)的軌跡形成過程的演示動畫（如圖 431） . 在實(shí)際教學(xué)中，雙擊動畫，可將點(diǎn)的軌跡的形成過程形象地展現(xiàn) 出來這不僅創(chuàng)設(shè)了情景、渲染 了氛圍、激發(fā)起興趣，而且還能更好地吸引學(xué)生的注意力，起到一石雙鳥的作用 . 再如在三角 形的中位線教學(xué)中，對四邊形各邊中點(diǎn)所圍成的四邊形是特殊的四邊形，且與原幾何畫板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 第 10 頁 共 21 頁 四邊形對角線的有一定關(guān)系這一問題的理解，內(nèi)容比較多，可用幾何畫板軟件制作如圖所示的動畫演示效果（如 圖 432）：學(xué)生 對四邊 形 ABCD的變化過程中四邊形 EFGH的特征能直觀感受到，并且加深了印象，而這個效果與教師簡單把結(jié)論教給學(xué)生或不斷畫圖來說明都是比較不可， 還有圓與圓的位置關(guān)系，正多邊形等一些幾何知識的教學(xué)中，應(yīng)用《幾何畫板》的動態(tài)展示效果能把抽象的數(shù)學(xué)問題和知識變得更形象、直觀，讓學(xué)生對知識有更深層次的理解，也大大降低了教師教學(xué)的難度 . 在解決數(shù)學(xué)問題中，由 于問題本身的抽象性和推理的復(fù)雜性，花費(fèi)了很多時間都未能把問題證明出來 . 圖 431 軌跡過程的演示動畫 圖 432 任意四邊形中點(diǎn)連線圖形 猜想是在沒有現(xiàn)存結(jié)論情況下根據(jù)問題的條件推斷可能存在的結(jié)果的一種直覺思維形式 .利用《幾何畫板》可以 為教師培養(yǎng)學(xué)生探究性地建構(gòu)知識提供環(huán)境，為學(xué)生進(jìn)行猜想提供技術(shù)平臺，從而讓學(xué)生在探索中學(xué)習(xí)，在探究中自主地建構(gòu)知識，提出猜想的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新 . 如，學(xué)習(xí)了“相交弦定理”后，教師可以這樣提出問題，啟發(fā)學(xué)生去進(jìn)行探索：“如圖 433 所示，根據(jù)相交弦定理，我們知道PA PB PC PD?，那么，如果 P點(diǎn)在o外， PA?PB＝ PC?PD這個結(jié)論還成立嗎？特別地如果 P 點(diǎn)在過 A、 B、 C、 D 中某一點(diǎn)的切線上時，結(jié)論又怎樣 ?” . 此問題的探索大致可以按下述四個步驟進(jìn)行： 測量 PA、 PB、 PC、 PD 的值，并計(jì)算 PA?PB， PC?PD； 用鼠標(biāo)將 P 點(diǎn)從圓內(nèi)拖到圓外； 觀察 PA?PB， PC?PD 的值的變化情況，仔細(xì)查看當(dāng) P 點(diǎn)在圓外變動時變化了的 PA?PB，PC?PD 的值是否相等 . 得到結(jié)論 .對于切線位置，可以過某一點(diǎn)（如 C點(diǎn)）作圓的一條切線（ CM），在該切線上任取一點(diǎn) H（ H點(diǎn)最好不與 C點(diǎn)重合），然而，用選擇工具選擇 P 點(diǎn)按住 Shift 鍵后再選 H點(diǎn)，使兩點(diǎn)都被選中，用鼠標(biāo)選擇 【編輯】下的【操作類按鈕】下的【移動】命令，為從 P 點(diǎn)移動到 H點(diǎn)設(shè)置一個運(yùn)動按鈕，當(dāng)雙擊按鈕時， P 會從它的當(dāng)前位置移動到 H 點(diǎn)，并使 P、 H兩點(diǎn)重合 .通過觀察 PA?PB， PC?PD 的值，可確立兩者的值的關(guān)系，得到結(jié)論 . 圖 433 相交弦定理演示圖 O P OPACACBDBD HO PACBDAB CDEFGH動畫矩形菱形等腰梯形正方形AC 垂直 CDAC 垂直 = C D2021 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 11 頁 共 21 頁 《幾何畫板》是一個動態(tài)討論問題的工具，對發(fā)展學(xué)生的思維能力、開發(fā)智力、促進(jìn)素質(zhì)教育有著不可忽視的作用，用《 幾何畫板》與學(xué)生共同探討問題，探求未知的結(jié)論，可以開闊思路，培養(yǎng)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng) . 例如，在邊長為 a 的正方形 ABCD中，對角線 AC、 BD相交于點(diǎn) O，正方形 OFEG 與邊 BC，CD 相交于點(diǎn) N、 M，求四邊形 ONCM 的面積 .該問題解決關(guān)鍵在于得出四邊形 ONCM 的面積與三角形 OBC 的面積相等，引導(dǎo)學(xué)生注意四邊形 OFEG 的運(yùn)動特征，讓學(xué)生應(yīng)用《幾何畫板》的動畫特征，轉(zhuǎn)動正方形 OFEG，觀察四邊形 ONCM 面積的變化，從而探究出=S OBCS ?四 邊 形 ONCM的結(jié)論（如 圖 434） . 圖 434 四邊形 OMCN 面積變化 AB CDOFGENM動畫面積 O N C M = 4 . 6 1 cm2幾何畫板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 第 12 頁 共 21 頁 第五章 在課堂中利用《幾何畫板》構(gòu)造立體圖形解決實(shí)際問題 構(gòu)造三棱錐 三棱錐是一個特殊的錐體，它的每一個頂點(diǎn)都可以作為三棱錐的頂點(diǎn)，每一個面都可以作為三棱錐的底面 .利用它不但可以靈活地計(jì)算三棱錐的體積 ,而且還可以求點(diǎn)到平面的距離或異面直線間的距離 . 例 1：已知正方體1 1 1 1ABC D A B C D?的棱長為 1，求異面直線1AD與AC間的距離 (圖 511). 隱藏形 A 1 D C 1隱藏 A 1 C 1 顯示 線段 A C 1隱藏錐線 隱藏面 A A 1 D 隱藏面 A 1 D C 1 合攏 移開軸旋轉(zhuǎn)顯示步驟 4顯示步驟 3顯示步驟 2顯示步驟 1(3 )(2 )(1 )AA 1BB 1CC 1DD 1C 1DA 1AAA 1BB 1CC 1DD 1 (6 )(5 )(4 ) D1C 1DA 1AD1C 1DA 1AD1C 1DA 1A 圖 511 三棱錐構(gòu)造圖 分析 ： (利用 《幾何畫板》示教學(xué)步驟 ) 如圖所示 ,連結(jié) 11AC , 1AC ,則 11//AC AC ∴ 11//AC A DC平 面 , ∴ A 到平面 11ADC 的距離 h 就是 AC 與 1DA間的距離 . ∴ 1112131)2(4331 2 ??????? h ∴ 33?h 即 AC 、 1DA間的距離為 33 2021 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 13 頁 共 21 頁 構(gòu)造正方體： 正方體是最特殊的四棱柱，它的六個面都是全等的正方形，線線、線面、面面之間都有垂直或平行關(guān)系，這便提供了多姿的化繁為簡的條件，以它為“模型”是最妙不過了 . 例 2： 一個四面體的所有棱長都為 2 ， 四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為 ( ). A． 3? ? C. 33 ? D. 6? 顯示正方體 隱藏正方體 合攏移開旋轉(zhuǎn)ACB 1D 1A 1D 1C 1B 1ADCB 顯示正方體 隱藏正方體 合攏移開旋轉(zhuǎn) 圖 521 正四面體與外接正方體 分析 : 構(gòu) 造 一 個 棱 長 為 1 的 正 方 體1 1 1 1ABC D A B C D?( 如 圖 521) 連1 1 1 1 1 1, , , , ,AB AD AC C D C B B D,則四面體 11B ACD? 為符合題意的四面體，它的外接球的直徑即為正方體的對角線長 .設(shè)該外接球的半徑為 R ,則 123R AC??,所以此正四面體外接球 分析 :如 圖 522,將四棱錐 P ABCD? 補(bǔ)成正方體 PQRS ABCD? ，則 PQ 為面 PA 的表面積為243SR????,故選 A. 例 3:過正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A 作 線段 PA ? 面 ABCD ,若 AB PA? ,求面 PAB 和面 PCD 所成二面角的大小 . BADC隱藏半平面 顯示正方體 隱藏正方體 合攏 移開旋轉(zhuǎn)RCQPSBADPRCQPSBAD 隱藏半平面 顯示正方體 隱藏正方體 合攏 移開旋轉(zhuǎn) 圖 522 構(gòu)造正方體求二面角 B 與面 PCD 的交線 .由正方體性質(zhì)知 PD PQ? ,AP PQ? , ? DPA? 為所求二面角的平面角 ,易知 45oDPA??. 幾何畫板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 第 14 頁 共 21 頁 構(gòu)造長方體： 長方體的六個面都是矩形，每個頂點(diǎn)上的三條棱兩兩互相垂直 .利用這些性質(zhì) ,構(gòu)造長方體 ,常能使很多問題得到簡化 . 例 4： 已知 ABCD 是邊長為 4的正方形 , ,EF分別是 AB 和 CD 的中點(diǎn) ,GC ?平面 ABCD 于 C ,且 2GC? ,求點(diǎn) B 到平面 GEF 的距離 . 顯示長方體 隱藏 對象隱藏長方體 合攏 移開旋轉(zhuǎn)BEAFDCGHOEFGDCBAK 圖 531 構(gòu)造長方體求點(diǎn)到平面的距離 分析 :如 圖 614,以邊長為 4的正方形 ABCD 為底面 ,GC 為側(cè)棱 ,構(gòu)造長方體 .由 //BD EF ,得//BD EFG面 , 到平面 EFG 的距離 , 轉(zhuǎn) 化 為 底 面 中 心 O 到平面 EFG 的距離CGGHOHOK ?? 11112? 應(yīng)用等積變換構(gòu)造立幾模型： 充分應(yīng)用等積變換、構(gòu)造、輔助解題的模型，理清思路，這是解幾何難題的一種常用方法 . 例 6： 在四面體 A BCD? 中，已知 ,AB a CD b??AB 與 CD 間的距離為 h ，它們所成的角為 ? ，求四面體的體積 . ?隱藏 BE 、 DE隱藏角隱藏面 BDE隱藏線 AE構(gòu)造四棱錐原四面體BDGCAEGBDCA 圖 541 構(gòu)造四棱錐求四面體體積 分析： （用等積變換如 圖 541）在平面 BCD 內(nèi)過 B 點(diǎn)作 / / , / / ,BF C D DE BC BE DE、交于 E 點(diǎn)從而得平行四邊形 BCDE ，連 AE 則 A BCDE? 為四棱錐 2021 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 15 頁 共 21 頁 ∵ //CD BE ，且 AB 與 CD 所成角為 ? ∴ ABE? 是 AB CD、 所成的角或補(bǔ)角，即 ABE ???或 ??? . ∴11si n si n22ABES AB BE ab??? ? ? ? ? ? ∵ //CD BE ，∴ //CD ABE面 . 設(shè) AB 與 CD 的公垂線為 GF ，則 GF 就是 CD 與面 ABE 的距離，也就是棱錐 D ABE? 的高線 . 顯然 GF ABE?面 ，且 GF h? . ∴1 1 1si n si n3 2 6D AB EV h ab ab??? ? ? ?, ∵ //DE BC ，∴ BDE BCDSS? , ∴ D ABE A BD E A BC DV V V? ? ??? .∴ 1 sin6A BCD ab h ?? ??. 分割圖形 巧補(bǔ)圖形可使某些立幾問題迅速準(zhǔn)確獲解 ,同樣適當(dāng)?shù)胤指顖D形 ,也可使某些立幾問題趨于簡單 ,從而為問題的順利解決提供了方便 . 例 6： 已知正三棱柱 1 1 1AB