【文章內(nèi)容簡介】 探究科學(xué)世界的有力工具” .幾何畫板簡單易學(xué)的操作使學(xué)生能在較短時(shí)間較完整地掌握其基本功能，從而為學(xué)生運(yùn)用幾何畫板獨(dú)立探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律提供了可能，使學(xué)生從“聽”數(shù)學(xué)逐漸向“做”數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變，不斷促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中“做”與“想”的有機(jī)統(tǒng)一 . 案例 6：一張矩形紙片 ABCD ， 8AB? ， 4BC? ，如圖 251，將矩形紙片的 A 角折起，使點(diǎn) A 幾何畫板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 第 6 頁 共 21 頁 落在線段 CD的 39。A上，求所有折痕 EF 的中點(diǎn) P 的軌跡方程 . 案例研究過程再現(xiàn)： 師生共同分析，達(dá)成共識(shí) .根據(jù)折疊的軸對(duì)稱特性，折痕 EF 即為 39。AA的中垂線與矩形邊界的兩個(gè)交點(diǎn)間的連線段，因此所求軌跡方程即為當(dāng)點(diǎn) 39。A 在線段 CD 上滑動(dòng)時(shí)， 39。的中垂線與矩形邊界的兩交點(diǎn) E、 F 的連線段的中點(diǎn) P 的軌跡方程 . 圖 251 矩形折痕中點(diǎn) 1 圖 352 矩形折痕中點(diǎn) 2 學(xué)生獨(dú)立解答 .有學(xué)生解答如下：如圖 252 所示建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)( , )Pxy，39。(,4)At(0 8t??，求得線段 39。AA的中垂線 l 的 方程： 2 ( )42ttyx? ? ? ?,分別令0, 0xy??得2 28E ty ??、普通方程為 2 2 2 0( 0 , 1 5 )x y x y x y? ? ? ? ? ?. 學(xué)生質(zhì)疑 .很快，有學(xué)生對(duì)上述解法提出了異議，認(rèn)為題中的折痕并不一定是 39。AA的中垂線l 與橫、縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，真正的折痕端點(diǎn)一端可能并不在坐標(biāo)軸上， 如圖 352. 探究發(fā)現(xiàn) .那么，在整個(gè)過程中，折痕如何變化、所求軌跡方程到底又是怎樣的呢？ 考慮到本題中所涉及的幾何圖形較為簡單，利用幾何畫板很方便就能模擬，因此讓學(xué)生嘗試通過幾何畫板進(jìn)行探究：先建立平面直角坐標(biāo)系，作出 (0,0)A 、 (8,0)B 、 (8,4)C 、 (0,4)D 四點(diǎn)，順次選中四點(diǎn)，利用作線段功能作出矩形 CD 上 任取一點(diǎn) A’，作線段 AA’的中垂線 l ，拖動(dòng)點(diǎn) 39。A，讓學(xué)生觀察 39。A在線段 DC上滑動(dòng)時(shí)， l 與矩形邊界的交點(diǎn) E、 F所處的位置的變化：拖動(dòng) 39。從 D 到 C,發(fā)現(xiàn) E、 F一開始在線段 AD、 BC上（如圖 253），然后在 AD、 AB上（如圖 254），最后在 DC、 AB 上（如圖 255） .顯然，學(xué)生的質(zhì)疑是合理的 . 拖動(dòng)點(diǎn) 39。同時(shí)，通過幾何畫板“顯示”菜單的“追蹤”功能追蹤 P 點(diǎn)（注意：根據(jù)交點(diǎn)的三 圖 253 矩形折痕中點(diǎn)軌跡 1 圖 254 矩形折痕中點(diǎn)軌跡 2 圖 255 矩形折痕中點(diǎn)軌跡 3 D 39。PEFCDA BA 39。y x A 39。PFECADB 2021 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 7 頁 共 21 頁 圖 256 矩形折痕中點(diǎn)軌跡 4 圖 257 矩形折痕中點(diǎn)軌跡 5 圖 258 矩形折痕中點(diǎn)軌跡 6 種不同情況分別追蹤），發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個(gè)由兩條線段和一條曲線段所圍成的封閉曲線 .如圖25 25 ，解題的重點(diǎn)就放在圍成軌跡的線段、曲線段相應(yīng)端點(diǎn)的確定上了 .再現(xiàn)整個(gè)過程，發(fā)現(xiàn)圍成軌跡的線段、曲線段相應(yīng)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)著 39。A點(diǎn)的幾個(gè)關(guān)鍵位置 .經(jīng)計(jì)算得線段 LM、LN 的方程分別為 4 (8 4 3 2 )xy? ? ? ?、 2(2 4)yx? ? ? ， 曲線段 MN 的方程為 2 2 2 0 ( 2 4 , 8 4 3 2 )x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ?， 所以所求的軌跡方程為：2 2 2 0 , ( 2 4 , 8 4 3 2)2 , ( 2 4)4 , ( 8 4 3 2)x y x y x yyxxy? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ??. 至此，問題得以解決 . 第三章 《幾何畫板》軟件輔助幾何教學(xué)的優(yōu)點(diǎn) 用《幾何畫板》繪制各種立體圖形非常直觀，可以解決學(xué)生從平面圖形向立體圖形，從二維空間向三維空間過渡的難題，因?yàn)樗_實(shí)能把一個(gè)“活”的立體圖形展現(xiàn)在學(xué)生面前 .如在立體幾何中，有些問題用直接法來尋求解題途徑比較困難，甚至無從著手，這時(shí)用構(gòu)造法并利用幾何體的特點(diǎn)和性質(zhì)來幫助解題，可起到事半功 倍的效果 . 形象化 《幾何畫板》是探索數(shù)學(xué)奧秘的強(qiáng)有力的工具 ,利用這個(gè)畫板可以做出各種神奇的圖形 .比如制作動(dòng)態(tài)正弦波、各種函數(shù)曲線和數(shù)據(jù)圖表等 .教學(xué)中若使用常規(guī)工具 (如紙、筆、圓規(guī)和直尺 )畫圖 ,畫出的圖形是靜態(tài)的 ,很容易掩蓋一些重要的幾何規(guī)律 .而使用幾何畫板 ,可以畫出有幾何約束條件的幾何圖形 .另外 ,《幾何畫板》可以在圖形運(yùn)動(dòng)中動(dòng)態(tài)地保持幾何關(guān)系 ,可以運(yùn)用它在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律 .比如用畫點(diǎn)、畫線工具畫出一個(gè)三角形后 ,作出它的三條角平分線、中線、中垂線 ,可以用鼠標(biāo)任意拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)和邊 ,就可以得到各種形狀的三角形 ,這個(gè)動(dòng)態(tài)的演示 ,也可以用于驗(yàn)證“無論三角形如何變化 ,其三條中線總是交于一點(diǎn)” .還有，在抽象的立體幾何中，利用《幾何畫板 》可以將抽象形象化，讓同學(xué)們作出形象化的立體圖形 . 幾何畫板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 第 8 頁 共 21 頁 動(dòng)態(tài)化 利用《幾何畫板》運(yùn)動(dòng)按鈕 —— “動(dòng)畫”和“移動(dòng)”功能經(jīng)過巧妙的組合后 ,所制作出的點(diǎn)、線、面、體都可以在各自的路徑上以不同的速度和方向進(jìn)行動(dòng)畫或移動(dòng) ,可以產(chǎn)生良好、強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)效果 ,并且所度量的角度或線段的長度及其他的一些數(shù)值也可以隨著點(diǎn)、線、面、體的運(yùn)動(dòng)而不斷地發(fā)生變化 ,非常接近于實(shí)際 ,可以更好 地達(dá)到數(shù)形結(jié)合 ,給學(xué)生一個(gè)直觀的印象 ,起到良好的教學(xué)效果 . 整合化 隨著信息技術(shù)的發(fā)展 ,涌現(xiàn)出了 Powerpoint、 F1ash、 Authorware、 VisualBasic 以及幾何畫板等一些對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)有著很大的作用的軟件 ,為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合提供了有效的平臺(tái) .然而作為課件創(chuàng)作人員 ,使用單一的制作軟件開發(fā)教學(xué)軟件總是存在不足 .數(shù)學(xué)課件的制作中可以使多種軟件整合使用 ,幾何畫板可被 Flash調(diào)用、 Authorware 調(diào)用、 Powerpoint 調(diào)用 . 在各個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生能力 幾何畫板的很多 不同于其他繪圖軟件的特點(diǎn)為教學(xué)過程中提出問題、探索問題、分析問題和進(jìn)一步解決問題提供了極好的外部條件 ,為培養(yǎng)學(xué)生的能力提供了極好的工具 . .在教師精心的設(shè)計(jì)下 ,恰當(dāng)?shù)乩谩稁缀萎嫲濉返难菔?,協(xié)助學(xué)生思考而不是代替學(xué)生思考 ,可促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展 .在橢圓的離心角的教學(xué)中 ,橢圓的半徑為終邊的角與橢圓離心角容易混淆 .若利用《幾何畫板》 ,不僅可以使學(xué)生把這兩個(gè)角的關(guān)系辨析清楚 ,而且電腦動(dòng)態(tài)顯示的優(yōu)勢抓住了時(shí)機(jī) ,有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力 . 、觀察能力 .“探索 是數(shù)學(xué)的生命線” .用《幾何畫板》進(jìn)行探索思考、觀察 ,使學(xué)生的想象力得以發(fā)揮 ,其顯示功能通過動(dòng)態(tài)的演示軌跡 ,增強(qiáng)學(xué)生感性認(rèn)識(shí) ,化抽象的事物為具體的事物 . ,培養(yǎng)學(xué)生分類討論的能力 .在畫板的幫助下很多需要分類討論的帶參數(shù)的問題變得簡單 ,讓學(xué)生們?cè)谒伎歼^程中“興奮”起來 ,學(xué)生對(duì)參數(shù)的改變引起軌跡的變化的認(rèn)識(shí)也就更深刻了 ,分類討論的思想迎刃而解 . .應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的又一特點(diǎn) ,數(shù)學(xué)教學(xué)中注重應(yīng)用 .應(yīng)用題往往難在對(duì)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化 .而 運(yùn)用畫板進(jìn)行輔助教學(xué)將易于揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì) ,有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力 . 2021 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 9 頁 共 21 頁 第四章《幾何畫板》與幾何教學(xué)整合的實(shí)踐 結(jié)合《幾何畫板》的特點(diǎn)，分析教材，改進(jìn)教法 數(shù)學(xué)是集嚴(yán)密性、邏輯性、精確性、創(chuàng)造性和想象力于一身的科學(xué)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)基本要求是：學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基本技能 .整個(gè)教學(xué)過程是培養(yǎng)學(xué)生思維過程，熟練掌握基本技能的過程，開發(fā)學(xué)生的空間想象能力的過程，這些都是數(shù)學(xué)教育的特殊基本要求 . 仔細(xì)分析了 幾何 的教學(xué)內(nèi)容，和《幾何畫板》的功能 .利用計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)出一個(gè)賦有創(chuàng)造性，啟發(fā)性的教學(xué)情境如 ：對(duì)教學(xué)概念、定義的理解，對(duì)新知識(shí)的探索，挖掘數(shù)學(xué)的內(nèi)涵 .其中一個(gè)關(guān)鍵因素是選擇適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，不同的教學(xué)階段有著不同的切入點(diǎn) .并利用學(xué)校有利的條件指導(dǎo)學(xué)生使用軟件，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫幾何圖形及函數(shù)圖像等，一改以往所有計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的 “ 課件 ” 由教師，專業(yè)人員制作，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力，全體學(xué)生參與制作，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生求知欲望 . 這樣的教學(xué)方法設(shè)計(jì)，突出了學(xué)生的主體地位和探索觀察的實(shí)驗(yàn)意識(shí)，從一般到特殊，從形象到抽象，學(xué)生經(jīng)過這樣一番試驗(yàn)、觀察、猜想、證實(shí)之后，再引 導(dǎo)學(xué)生給出證明，這樣較難講清的問題，就在學(xué)生的試驗(yàn)中解決了 . 利用《幾何畫板》輔助教師講授基礎(chǔ)知識(shí)，幫助學(xué)生理解基本概念 概念是一事物區(qū)別于它事物的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)概念來源于實(shí)際，是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中事物的數(shù)量關(guān)系和物質(zhì)形態(tài)在質(zhì)上的抽象和概括 .在教學(xué)中講授或?qū)W習(xí)概念常常需要借助實(shí)物形式或物質(zhì)的形態(tài)進(jìn)行直觀性表述 .平面幾何教學(xué)難，難在于其抽象性 .學(xué)生由于對(duì)概念的“形態(tài)式”語言的表示出現(xiàn)問題，故而導(dǎo)致對(duì)概念的理解產(chǎn)生了錯(cuò)誤 .學(xué)生不能把概念轉(zhuǎn)換為圖形語言，從圖形中理解抽象的概念，學(xué)習(xí)也就望而卻步 .為此，在幾何教學(xué)中 ，正確地教會(huì)學(xué)生識(shí)別幾何圖形，教懂學(xué)生作圖，成為突破幾何教學(xué)難的切口 .在入門教學(xué)中，教師往往要注重抓好幾何圖形的識(shí)圖教學(xué)和作圖教學(xué)，注重識(shí)圖、解意能力的培養(yǎng)，并長期貫穿于幾何教學(xué)活動(dòng)中，以使學(xué)生深化和理解基本概念、認(rèn)識(shí)和掌握基本知識(shí) .傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師要利用三角板、直尺等教學(xué)工具用粉筆在黑板上作出很多有關(guān)教學(xué)內(nèi)容的具有代表性的圖形，并結(jié)合學(xué)生生活的具體實(shí)際，借助日常生活中學(xué)生熟知的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，對(duì)典型圖形進(jìn)行分析、描述，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察、辨認(rèn)，啟發(fā)學(xué)生比較、聯(lián)想 .這樣的教學(xué)無疑對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形、理解概念、奠定學(xué) 習(xí)幾何的形態(tài)式語言基礎(chǔ)、建立起圖形與概念之間的本質(zhì)聯(lián)系、深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)有著重要的作用 .利用計(jì)算機(jī)的工具型應(yīng)用軟件《幾何畫板》來輔助教學(xué)，可以帶來“出示圖形更靈活，展現(xiàn)的圖形更豐富，而且規(guī)范、直觀”等諸多好處 . 利用《幾何畫板》動(dòng)態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題，把抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)變得形象、直觀 動(dòng)態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題，能夠化抽象為具體，化具體為形象，因而，使教學(xué)更加直觀、生動(dòng)，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性 .如：在《點(diǎn)的軌跡教學(xué)》中教師可以利用《幾何畫板》制作點(diǎn)的軌跡形成過程的演示動(dòng)畫（如圖 431） . 在實(shí)際教學(xué)中，雙擊動(dòng)畫，可將點(diǎn)的軌跡的形成過程形象地展現(xiàn) 出來這不僅創(chuàng)設(shè)了情景、渲染 了氛圍、激發(fā)起興趣，而且還能更好地吸引學(xué)生的注意力，起到一石雙鳥的作用 . 再如在三角 形的中位線教學(xué)中，對(duì)四邊形各邊中點(diǎn)所圍成的四邊形是特殊的四邊形，且與原幾何畫板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 第 10 頁 共 21 頁 四邊形對(duì)角線的有一定關(guān)系這一問題的理解，內(nèi)容比較多，可用幾何畫板軟件制作如圖所示的動(dòng)畫演示效果（如 圖 432）：學(xué)生 對(duì)四邊 形 ABCD的變化過程中四邊形 EFGH的特征能直觀感受到，并且加深了印象，而這個(gè)效果與教師簡單把結(jié)論教給學(xué)生或不斷畫圖來說明都是比較不可， 還有圓與圓的位置關(guān)系，正多邊形等一些幾何知識(shí)的教學(xué)中，應(yīng)用《幾何畫板》的動(dòng)態(tài)展示效果能把抽象的數(shù)學(xué)問題和知識(shí)變得更形象、直觀，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有更深層次的理解，也大大降低了教師教學(xué)的難度 . 在解決數(shù)學(xué)問題中，由 于問題本身的抽象性和推理的復(fù)雜性，花費(fèi)了很多時(shí)間都未能把問題證明出來 . 圖 431 軌跡過程的演示動(dòng)畫 圖 432 任意四