【正文】 y x A 39。(,4)At(0 8t??，求得線段 39。 ability in each aspect. At first, this paper will be of geometry drawing board software system is introduced, its function of graphic demonstration, the advantage of auxiliary teaching。AA的中垂線與矩形邊界的兩個(gè)交點(diǎn)間的連線段，因此所求軌跡方程即為當(dāng)點(diǎn) 39。從 D 到 C,發(fā)現(xiàn) E、 F一開(kāi)始在線段 AD、 BC上（如圖 253），然后在 AD、 AB上（如圖 254），最后在 DC、 AB 上（如圖 255） .顯然，學(xué)生的質(zhì)疑是合理的 . 拖動(dòng)點(diǎn) 39。還可以啟發(fā)學(xué)生更積極地思考 ,引導(dǎo)學(xué) 生自己發(fā)現(xiàn)和探索 ?使教師的“講”更多地由學(xué)生積極參與的活動(dòng)所代替 .學(xué)生由“聽(tīng)講”“記筆記”的被動(dòng)學(xué)習(xí)方式更多地變?yōu)橛^察、實(shí)驗(yàn)和主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)方式 ,從而達(dá)到知識(shí)、能力和素質(zhì)的全面提高 . 致謝 非常感謝劉老師在我大學(xué)的最后學(xué)習(xí)階段 — 畢業(yè)論文設(shè)計(jì)階段給自己的指導(dǎo)，從最初的定題，到資料收集，到寫作、修改，到論文定稿，他們給了我耐心的指導(dǎo)和無(wú)私的幫助 .為了指導(dǎo)我們的畢業(yè)論文，他們放棄了自己的休息時(shí)間，他們的這種無(wú)私奉獻(xiàn)的敬業(yè)精神令人欽佩，在此我向他們表示我誠(chéng)摯的謝意 .同時(shí)，感謝所有任課老師和所有同學(xué)在這四年來(lái)給自己 的指導(dǎo)和幫助，是他們教會(huì)了我專業(yè)知識(shí)，教會(huì)了我如何學(xué)習(xí)，教會(huì)了我如何做人 .正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進(jìn)步。A，讓學(xué)生觀察 39。 Finally the use of geometry drawing board to explore the path problems, further explore the mystery of the geometry. Everything from set out actually, from shallow to deep, give full play to the role of the geometry drawing board, finally achieve the effect of the puter information technology and mathematics teaching activities bined to talk about some of the practice, in put forward its own views. Keywords： Geometry drawing board plane geometry, solid geometry, analytic geometry, dynamic geometry. 2021 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 1 頁(yè) 共 21 頁(yè) 引言 對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)來(lái)說(shuō)主要是抽象思維和理論思維，這是事實(shí)；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來(lái)說(shuō)，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用 .不難想象，一個(gè)沒(méi)有得到形象思維培養(yǎng)的人會(huì)有很高的抽象思維、理論思維的能力 .同樣，一個(gè)學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的 .眾所周知，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的思想方法之一，是聯(lián)系數(shù)學(xué)直 觀和抽象的主要工具 .《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“現(xiàn)代信息技術(shù)要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂(lè)意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去 .”目前，現(xiàn)代信息技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用已成為一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題 .因此，隨著計(jì)算機(jī)多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的同時(shí)，也給學(xué)校教育帶來(lái)了一場(chǎng)深刻的變革 —— 用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，改善人們的認(rèn)知環(huán)境 —— 越來(lái)越受到重視 .從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫(huà)板》以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖象功能、方便的動(dòng)畫(huà)功能被國(guó)內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，通過(guò)基本的點(diǎn)工具、圓規(guī)工具 、直尺工具、輔以選擇箭頭工具、文本工具、自定義工具和“編輯”、“顯示”、“作圖”、“變換”、“度量”、“圖表”六大菜單提供了強(qiáng)大的計(jì)算功能和靜、動(dòng)態(tài)演示功能 .現(xiàn)已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一 . 第一章《幾何畫(huà)板》簡(jiǎn)介 《幾何畫(huà)板》（原名： The Geometer’ s Sketchpad）是由美國(guó) Key Curriculum Press 公司研制并出版的幾何軟件 .它是一個(gè) 適用于數(shù)學(xué) 教學(xué)的軟件平臺(tái)，為教師和學(xué)生提供了一個(gè)探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境 .它以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過(guò)對(duì)這些基本元素的變換、構(gòu) 造、測(cè)算、計(jì)算、動(dòng)畫(huà)和跟蹤軌跡等方式，能顯示或構(gòu)造出較為復(fù)雜的圖形 .《幾何畫(huà)板》操作簡(jiǎn)單，只要用鼠標(biāo)點(diǎn)取工具欄和菜單就可以開(kāi)發(fā)課件 .它無(wú)需編制任何程序，一切都要借助于幾何關(guān)系來(lái)表現(xiàn)，因此它只適用于能夠用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述的內(nèi)容 .《幾何畫(huà)板》非常適合于數(shù)學(xué)老師使用，因?yàn)橛盟M(jìn)行開(kāi)發(fā)最關(guān)鍵的是“把握幾何關(guān)系”，這也正是數(shù)學(xué)老師所擅長(zhǎng)的 .用《幾何畫(huà)板》繪制各種立體圖形非常直觀，可以解決學(xué)生從平面圖形向立體圖形，從二維空間向三維空間過(guò)渡的難題，因?yàn)樗_實(shí)能把一個(gè)“活”的立體圖形展現(xiàn)在學(xué)生面前 . 在立體幾何中，有些問(wèn)題用 直接法來(lái)尋求解題途徑比較困難，甚至無(wú)從著手，這時(shí)用構(gòu)造法并利用幾何體的特點(diǎn)和性質(zhì)來(lái)幫助解題， 可起到事半功倍的效果 . 第二章《幾何畫(huà)板》的作圖演示功能 作圖演示功能是幾何畫(huà)板最基本、最常用的功能，由于其簡(jiǎn)便的操作、清晰的界面、易于開(kāi)發(fā)的環(huán)境以及和其他軟件良好的圖片兼容性而深得廣大數(shù)理教師的喜歡 .幾何畫(huà)板的演示作圖功能按作圖過(guò)程中涉及的數(shù)學(xué)思維的深淺筆者將其分為繪圖功能和數(shù)學(xué)作圖功能兩類 . 幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 第 2 頁(yè) 共 21 頁(yè) 繪圖功能 筆者所謂的繪圖功能，通俗的講，就是把幾何畫(huà)板當(dāng)作畫(huà)圖板使用 .畫(huà)圖過(guò)程中基本不需要較多的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)支撐，就 如同一個(gè)即使從來(lái)并沒(méi)有學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人用筆在紙上畫(huà)圖，只不過(guò)現(xiàn)在是利用幾何畫(huà)板提供的畫(huà)點(diǎn)、畫(huà)圓（圓?。?、畫(huà)線（直線、射線、線段）工具當(dāng)作筆，電腦屏幕當(dāng)作紙而已 .區(qū)別可能就在于紙上的圖要通過(guò)掃描才能成為數(shù)字文檔，從這個(gè)意義上講，它的功能類似于windows 自帶的畫(huà)圖板 .如圖 211 中精美的圖形都由幾何畫(huà)板畫(huà)得 . 當(dāng)然，幾何畫(huà)板在動(dòng)態(tài)作圖方面是畫(huà)圖板不可比擬的 .如立體幾何中研究長(zhǎng)（正）方體中點(diǎn)、線、面關(guān)系的時(shí)候，可利用幾何畫(huà)板畫(huà)出一個(gè)可以旋轉(zhuǎn)的長(zhǎng)（正）方體，幫助學(xué)生從不同角度觀察研究立體圖形，逐步提高學(xué)生的空間想 象力 .如圖 212. 圖 211 三 維 三 視 圖 圖 212 旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)方體 數(shù)學(xué)作圖功能 不夸張的講，幾何畫(huà)板的數(shù)學(xué)作圖功能才是真正體現(xiàn)了幾何畫(huà)板的數(shù)學(xué)價(jià)值 .這里所謂的數(shù)學(xué)作圖，是指最大程度地運(yùn)用幾何畫(huà)板提供的各種工具，借助一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)化的設(shè)計(jì)、構(gòu)造，作出體現(xiàn)某個(gè)數(shù)學(xué)原理、或?yàn)槔斫饽硞€(gè)數(shù)學(xué)原理服務(wù)的數(shù)學(xué)圖形 .如果說(shuō)純粹畫(huà)圖是站在畫(huà)家的角度講究畫(huà)得像不還是不像的話，那么數(shù)學(xué)作圖則是站在一個(gè)數(shù)學(xué)家的角度，更多的 是體現(xiàn)作圖過(guò)程中數(shù)學(xué)知識(shí)的滲透，是為理解、探究某個(gè)數(shù)學(xué)概念或原理，運(yùn)用已知的一些數(shù)學(xué)知識(shí)有意識(shí)地、可預(yù)見(jiàn)地構(gòu)思和設(shè)計(jì)作圖過(guò)程，最終通過(guò)構(gòu)造作圖，達(dá)到幫助理解數(shù)學(xué)概念或原理的目的 .從作圖的側(cè)重點(diǎn)來(lái)看，純粹作圖主要側(cè)重最后作出的圖形結(jié)果，而數(shù)學(xué)作圖更加側(cè)重作圖中的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程 .可以說(shuō)，一個(gè)沒(méi)有較好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，是用不好幾何畫(huà)板的 .從這個(gè)意義上講，在運(yùn)用幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)作圖的過(guò)程本身也是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用、探究和學(xué)習(xí)的過(guò)程 .幾何畫(huà)板的數(shù)學(xué)作圖功能幾乎是為數(shù)學(xué)學(xué)科度身定做的，尤其體現(xiàn)在二維作圖方面，例如： 案例 1： 直接作出函數(shù)圖像 .在直角坐標(biāo)系環(huán)境下通過(guò)輸入形如“()y f x?或x f y”或在極坐標(biāo)系環(huán)境下輸入形如“()rf??或 ()fr??”格式的函數(shù)解析式，可直接作出函數(shù)圖像，同時(shí)，通過(guò)控制函數(shù) 解析式中參數(shù)的變化，可動(dòng)態(tài)展示 圖像的變化 .例如在二次函數(shù)最值問(wèn)題的教學(xué)中：利用“圖表”菜單中“新建參數(shù)”功能給出參數(shù) a 、 b 、 c ，再利用“新建函數(shù)”功能給出函數(shù)解析式 2()f x ax bx c? ? ?，鼠標(biāo)右擊函數(shù)解析式，利用“繪制函數(shù)”功能，可直接畫(huà)出函數(shù) ()fx的圖像 .進(jìn)一步借助參數(shù) t ，可畫(huà)出函數(shù)()fx在限定區(qū)間 ? ?,2tt? 上的圖像 .如圖 221，圖中 圖 221 二次函數(shù)最值問(wèn)題 2021 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 3 頁(yè) 共 21 頁(yè) 函數(shù) ( ) ( ( ) ( ) ( ( 2 ) ) ) ( ) ( ( 2 ) )g x f x x t t x x t t x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的圖像（整個(gè)二次函數(shù)圖像上較粗的那段）即為函數(shù) ? ?2( ) , , 2f x ax bx c x t t? ? ? ? ?的圖像，（式中的“ ( ) ( ( 2) ) ( ) ( ( 2) )x t t x x t t x? ? ? ? ? ? ? ? ?”主要是為了構(gòu)造定義域 ? ?,2tt? ，事實(shí)上，類似也可畫(huà)出其他定義域上的圖像） .這樣，通過(guò)控制參數(shù) a 、 b 、 c 、 t 的變化（選中相應(yīng)參數(shù)后可用鍵盤 +/控制或直接利用“參數(shù)動(dòng)畫(huà)”實(shí)現(xiàn)），可直觀演示二次函數(shù)在限定區(qū)間上“區(qū)間定函數(shù)動(dòng) ”和“函數(shù)定區(qū)間動(dòng)”兩類常見(jiàn)的值域（最值）問(wèn)題 . 案例 2：作參數(shù)方程對(duì)應(yīng)曲線 .通過(guò)“顯示”菜單中的“追蹤動(dòng)點(diǎn)”功能可輕松顯示參數(shù)方程的軌跡 .例如極坐標(biāo)系中，可利用等速螺線的參數(shù)方程輕松模擬等速螺線：設(shè)等速螺線參數(shù)方程為：,03ttt???????? ???，如圖 222，先新建參數(shù) t ，利用“度量”菜單中的“計(jì)算”功能分別計(jì)算 和t?，依 次選中計(jì)算結(jié)果 和 3t? ，利用“圖表”菜單中的“繪制點(diǎn)”功能畫(huà)出點(diǎn) ,3tt???????，選中此點(diǎn)，利用“顯示”菜單中的“追蹤點(diǎn)”功能追蹤此點(diǎn)，通過(guò)變化參數(shù) t （選中參數(shù) t 后可用鍵盤 +/控制或直接利用“參數(shù)動(dòng)畫(huà)”實(shí)現(xiàn)），即可動(dòng)態(tài)演示此點(diǎn)的軌跡為等速螺線 . 案例 3：利用“軌 跡”菜單作軌跡 .過(guò)“作圖”菜單中的“軌跡”功能，可直接作出類如所求動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡 .例如解析幾何中，利用橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義 —— 離心角，根據(jù)已知的橢圓長(zhǎng)、短軸長(zhǎng) 2a 、 2b 畫(huà)出橢圓：如圖 223，給出參數(shù) a 、 b ，以 O 為圓心， 圖 222 參 數(shù) 方 程 曲 線 圖 223 軌跡函數(shù)圖象 分別以 a 、 b 為半徑畫(huà)出大圓和小圓，在大圓上任取一點(diǎn) Q ，作射線 OQ 交小圓于點(diǎn) R ，過(guò) R 作 x軸的平行線交過(guò) Q 與 y 軸平行的直線于 P ，由于當(dāng) Q 在大圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P 的軌跡即為以 2a 為長(zhǎng)軸、以 2b 為短軸的 橢圓，故依次選中點(diǎn) P 和點(diǎn) Q （兩點(diǎn)全部選中），利用“構(gòu)造”菜單中的“軌跡”功能可直接作出點(diǎn) P 的軌跡 —— 以 2a 為長(zhǎng)軸、以 2b 為短軸的橢圓 .通過(guò)控制參數(shù) a 、 b 可隨意作出已知長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)的橢圓 . 直觀驗(yàn)證功能 數(shù)學(xué)的抽象性往往是困擾學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大障礙，如何變抽象為形象，也一直是數(shù)學(xué)學(xué)科與信息技術(shù)整合的主要內(nèi)容之一 .幾何畫(huà)板強(qiáng)大的計(jì)算、作圖功能以及個(gè)人電腦屏幕的的大尺寸、高分辨率為一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了直觀驗(yàn)證的可能，成為幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)抽象性的有力工具 . 案例 4：當(dāng) 01a??時(shí)，就函數(shù) xya? 與 logayx? 的 圖像的交點(diǎn)情況提出你的問(wèn)題，并加以解決．（說(shuō)R 幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 第 4 頁(yè) 共 21 頁(yè) 明：函數(shù) ( ) lnf x x x? 有如下性質(zhì)：在區(qū)間 1(0, ]e 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 1[,1)e 上單調(diào)遞增．解題過(guò)程中可以利用 .） 本題的結(jié)論是： 當(dāng) (0, )eae?? 時(shí)， 函數(shù) xya? 與 logayx? 的圖像有 3 個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) [ ,1)eae?? 時(shí)，函數(shù) xya? 與 logayx? 的圖像有 1 個(gè)交點(diǎn)（具體解答從略）．但在課后，雖然學(xué)生承認(rèn)結(jié)論的成立，但很多學(xué)生還是表現(xiàn)出難以信服的表情 .有的同學(xué)雖然借助計(jì)算器計(jì)算有關(guān)數(shù)據(jù)得到了一定的直觀論證，但始終難以將 (0, )eae?? 時(shí) 函數(shù) xya? 與 logayx? 的圖像的 3 個(gè)交 點(diǎn)直觀的畫(huà)出來(lái)，迫切地吵著要我畫(huà)出直觀圖 .究其原因，主要是手工畫(huà)圖誤差較大，即使 TI圖形計(jì)算器，由于分辨率不高也不能達(dá)到很好的展示效果 .為此，筆者借助幾何畫(huà)板自制課件：①先作出點(diǎn) ( ,0)ee? 供參照； ②作連接原點(diǎn)和單位點(diǎn)的線段，在此線段上任取一點(diǎn) E，計(jì)算 E 點(diǎn)橫坐標(biāo) xE； ③ 利用“圖表”菜單“繪制函數(shù)”功能畫(huà)出函數(shù) ( ) ( )xEf x x? 和 ( ) logEx