計(jì)數(shù)原理復(fù)習(xí)資料-資料下載頁(yè)
2025-08-11 10:59本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋?＋Cnnbn這個(gè)公式所表示的定理。式中的Crnan－rbr叫二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tr＋1表示，即通項(xiàng)Tr＋1＝Crnan－rbr.各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.二項(xiàng)式的系數(shù)從C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)Cn2n取得最大值；＝C1n＋C3n＋C5n＋?運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)Tr＋1＝Crnan－rbr，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，解析Tr＋1＝Cr5r＝2rCr5xr，當(dāng)r＝2時(shí)，T3＝40x2.由已知條件a＝41，b＝29，則a＋b＝70.3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋。4．n的展開(kāi)式中x5與x6的系數(shù)相等，則n. 由題意知a10，a11分別是含x10和x11項(xiàng)的系數(shù)，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，解通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝(－3)rCrnxn－2r3.x－ax26展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為。二項(xiàng)式9的展開(kāi)式中，求：。令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－?
【正文】 (2)A22A14A44＝ 192； (3)A15A55－ A22A14A44＝ 408， (4)A24A12A22＋ A24A33＝ 120； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36－ A35＝ 60. 考向二 組合問(wèn)題 【例 2】 ?某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生 12 名，外科醫(yī)生 8 名，現(xiàn)選派 5 名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中 (1)某 內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ (4)隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ [審題視點(diǎn) ] “ 無(wú)序問(wèn)題 ” 用組合，注意分類處理． 解 (1)只需從其他 18 人中選 3 人即可，共有 C318＝ 816(種 )； (2)只需從其他 18 人中選 5 人即可，共有 C518＝ 8 568(種 )； (3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有 C12C418＋ C318＝ 6 936(種 )； (4)法一 (直接法 )：至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有 C112C48＋ C212C38＋ C312C28＋ C412C18＝14 656(種 )． 法二 (間接法 )：由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得 C520－ (C512＋ C58)＝ 14 656(種 )． 對(duì)于有條件的組合問(wèn)題，可能遇到含某個(gè) (些 )元素與不含某個(gè) (些 )元素問(wèn)題；也可能遇到 “ 至多 ” 或 “ 至少 ” 等組合問(wèn)題的計(jì)算，此類問(wèn)題要注意分類處理或間接計(jì)算，切記不要因?yàn)?“ 先取再后取 ” 產(chǎn)生順序造成計(jì)算錯(cuò)誤． 【訓(xùn)練 2】 甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門， (1)甲、乙所選的課程中恰有1 門相同的選法有多少種？ (2)甲、乙所選的課程中至少有一門不相同的選法有多少種？ 解 (1)甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，且甲、乙所選課程中恰有 1 門相同的選法種數(shù)共有 C24C12C12＝ 24(種 )． (2)甲、乙兩人從 4 門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為 C24C24，又甲乙兩人所選的兩門課程都相 同的選法種數(shù)為 C24種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為 C24C24－C24＝ 30(種 )． 考向三 排列、組合的綜合應(yīng)用 【例 3】 ?(1)7 個(gè)相同的小球，任意放入 4 個(gè)不同的盒子中，試問(wèn)：每個(gè)盒子都不空的放法共有多少種？ (2)計(jì)算 x＋ y＋ z＝ 6 的正整數(shù)解有多少組； (3)計(jì)算 x＋ y＋ z＝ 6 的非負(fù)整數(shù)解有多少組． [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)題目要求分類求解，做到不重不漏． 解 (1)法一 先將其中 4 個(gè)相同的小球 放入 4 個(gè)盒子中，有 1 種放法；再將其余 3 個(gè)相同的小球放入 4 個(gè)不同的盒子中，有以下 3 種情況： ① 某一個(gè)盒子放 3個(gè)小球，就可從這 4個(gè)不同的盒子中任選一個(gè)放入這 3個(gè)小球，有 C14種不同的放法； ② 這 3 個(gè)小球分別放入其中的 3 個(gè)盒子中，就相當(dāng)于從 4 個(gè)不同的盒子中任選 3個(gè)盒子，分別放入這 3 個(gè)相同的小球，有 C34種不同放法； ③ 這 3 個(gè)小球中有兩個(gè)小球放在 1 個(gè)盒子中，另 1 個(gè)小球放在另一個(gè)盒子中，從這 4 個(gè)不同的盒子中任選兩個(gè)盒子排成一列，有 A24種不同的方法． 綜上可知，滿足題設(shè)條件的放法為 C14＋ C34＋ A24＝ 20(種 )． 法二 “ 每個(gè)盒子都不空 ” 的含義是 “ 每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球 ” ，若用 “ 擋板法 ” ，可易得 C36＝ 20. (2)可看做將 6 個(gè)相同小球放入三個(gè)不同盒子中，每盒非空有多少種放法．轉(zhuǎn)化為 6 個(gè) 0,2 個(gè) 1 的排列，要求 1 不排在兩端且不相鄰，共有 C25＝ 10 種排法，因此方程 x＋ y＋ z＝ 6 有 10 組不同的正整 數(shù)解； (3)可看做將 6 個(gè)相同小球放入三個(gè)不同的盒子中，轉(zhuǎn)化為 6 個(gè) 0,2 個(gè) 1 的排列，共有 C28＝ 28 種排法，因此方程 x＋ y＋ z＝ 6 有 28 組不同的非負(fù)整數(shù)解． 排列與組合的根本區(qū)別在于是 “ 有序 ” 還是 “ 無(wú)序 ” ，對(duì)于將若干個(gè)相同小球放入幾個(gè)不同的盒子中，此類問(wèn)題可利用 “ 擋板法 ” 求解，實(shí)質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問(wèn)題． (2)在計(jì)算排列組合問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到 “ 分組 ” 問(wèn)題，要特別注意是平均分組還是不平均分組．可從排列與組合的關(guān)系出發(fā)，用類 比的方法去理解分組問(wèn)題，比如將 4個(gè)元素分為兩組，若一組一個(gè)、一組三個(gè)共有 C14C33種不同的分法； 而平均分為兩組則有 C24C22A22 種不同的分法． 【訓(xùn)練 3】 有 6 本不同的書按下列分配方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？ (1)分成 1 本、 2 本、 3 本三組； (2)分給甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； (3)分成每組都是 2 本的三組； (4)分給甲、乙、丙三人，每人 2 本． 解 (1)分三步：先選一本有 C16種選法；再?gòu)挠嘞碌?5 本中選 2 本有 C25種選法；對(duì)于余下的三本全選有 C33種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知有 C16C25C33＝ 60種選法． (2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在 (1)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配的問(wèn)題，因此共有 C16C25C33A33＝ 360 種選法． (3)先分三步，則應(yīng)是 C26C24C22種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記 6 本書為分別 A、 B、 C、 D、 E、 F，若第一步取了 (AB， CD， EF)，則 C26C24C22種分法中還有 (AB、 EF、 CD)， (CD、 AB、 EF)、 (CD、 EF、 AB)、 (EF、 CD、 AB)、 (EF、 AB、CD)共有 A33種情況，而且這 A33種情況僅是 AB、 CD、 EF 的順序不同，因此，只算作一種情況，故分配方式有 C26C24C22A33 ＝ 15(種 )． (4)在問(wèn)題 (3)的基礎(chǔ)上再分配，故分配方式有 C26C24C22A33 A33＝ C26C24C22＝ 90(種 )． 閱卷報(bào)告 16—— 實(shí)際問(wèn)題意義不清，計(jì)算重復(fù)、遺漏致誤 【問(wèn)題診斷】 排列組合問(wèn)題由于其思想方法獨(dú)特計(jì)算量龐大，對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以在解決這類問(wèn)題時(shí)就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向 .同時(shí)解答組合問(wèn)題時(shí)必須心思細(xì)膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題 . 【防范措施】 “ 至少、至多型 ” 問(wèn)題不能利用分步計(jì)數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對(duì)立事件求解 【 示例 】 ? 有 20 個(gè)零件，其中 16 個(gè)一等品， 4 個(gè)二等品，若從 20 個(gè)零件中任意取 3 個(gè)，那么至少有 1 個(gè)一等品的不同取法有多少種？ 錯(cuò)因 第二步若取出一等品則與第一步取出的一等品有了先后順序，從而使取法重復(fù)． 實(shí)錄 按分步原理，第一步確保 1 個(gè)一等品，有 C116種取法；第二步從余下的 19個(gè)零件中任意取 2 個(gè)，有 C219種不同的取法，故共有 C116C219＝ 2 736 種取法． 正解 法一 將 “ 至少有 1 個(gè)是一等品的不同取法 ” 分三類： “ 恰有 1 個(gè)一等品 ” ， “ 恰有 2 個(gè)一等品 ” ， “ 恰有 3 個(gè)一等品 ” ，由分類計(jì)數(shù)原理有： C116C24＋C216C14＋ C316＝ 1 136(種 )． 法二 考慮其對(duì)立事件 “ 3 個(gè)都是二等品 ” ，用間接法： C320－ C34＝ 1 136(種 )． 【試一試】 在 10 名演員中， 5 人能歌， 8 人善舞，從中選出 5 人，使這 5 人能演出一個(gè)由 1 人獨(dú)唱 4 人伴舞的節(jié)目，共有幾種選法？ [嘗試解答 ] 本題中的 “ 雙面手 ” 有 3 個(gè)，僅能歌的 2 人，僅善舞的 5 人．把問(wèn)題分為： (1)獨(dú)唱演員從雙面手中選，剩下的 2 個(gè)雙面手和只能善舞的 5 個(gè)演員一起參加伴舞人員的選拔； (2)獨(dú)唱演員不從雙面手中選拔，即從只能唱歌的 2人中選拔，這樣 3 個(gè)雙面手就可以和只能善舞的 5 個(gè)演員一起參加伴舞人員的選拔．故選法種數(shù)是 C13C47＋ C12C48＝ 245.
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1