【導讀】(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋?＋Cnnbn這個公式所表示的定理。式中的Crnan－rbr叫二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項Tr＋1＝Crnan－rbr.各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.二項式的系數(shù)從C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.當n是偶數(shù)時，中間一項Cn2n取得最大值；＝C1n＋C3n＋C5n＋?運用二項式定理一定要牢記通項Tr＋1＝Crnan－rbr，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，解析Tr＋1＝Cr5r＝2rCr5xr，當r＝2時，T3＝40x2.由已知條件a＝41，b＝29，則a＋b＝70.3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋。4．n的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n. 由題意知a10，a11分別是含x10和x11項的系數(shù)，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，解通項公式為Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝(－3)rCrnxn－2r3.x－ax26展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為。二項式9的展開式中，求：。令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－?

　　

【正文】 (2)A22A14A44＝ 192； (3)A15A55－ A22A14A44＝ 408， (4)A24A12A22＋ A24A33＝ 120； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36－ A35＝ 60. 考向二 組合問題 【例 2】 ?某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生 12 名，外科醫(yī)生 8 名，現(xiàn)選派 5 名參加賑災醫(yī)療隊，其中 (1)某 內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ (4)隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ [審題視點 ] “ 無序問題 ” 用組合，注意分類處理． 解 (1)只需從其他 18 人中選 3 人即可，共有 C318＝ 816(種 )； (2)只需從其他 18 人中選 5 人即可，共有 C518＝ 8 568(種 )； (3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有 C12C418＋ C318＝ 6 936(種 )； (4)法一 (直接法 )：至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有 C112C48＋ C212C38＋ C312C28＋ C412C18＝14 656(種 )． 法二 (間接法 )：由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得 C520－ (C512＋ C58)＝ 14 656(種 )． 對于有條件的組合問題，可能遇到含某個 (些 )元素與不含某個 (些 )元素問題；也可能遇到 “ 至多 ” 或 “ 至少 ” 等組合問題的計算，此類問題要注意分類處理或間接計算，切記不要因為 “ 先取再后取 ” 產(chǎn)生順序造成計算錯誤． 【訓練 2】 甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門， (1)甲、乙所選的課程中恰有1 門相同的選法有多少種？ (2)甲、乙所選的課程中至少有一門不相同的選法有多少種？ 解 (1)甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，且甲、乙所選課程中恰有 1 門相同的選法種數(shù)共有 C24C12C12＝ 24(種 )． (2)甲、乙兩人從 4 門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為 C24C24，又甲乙兩人所選的兩門課程都相 同的選法種數(shù)為 C24種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為 C24C24－C24＝ 30(種 )． 考向三 排列、組合的綜合應用 【例 3】 ?(1)7 個相同的小球，任意放入 4 個不同的盒子中，試問：每個盒子都不空的放法共有多少種？ (2)計算 x＋ y＋ z＝ 6 的正整數(shù)解有多少組； (3)計算 x＋ y＋ z＝ 6 的非負整數(shù)解有多少組． [審題視點 ] 根據(jù)題目要求分類求解，做到不重不漏． 解 (1)法一 先將其中 4 個相同的小球 放入 4 個盒子中，有 1 種放法；再將其余 3 個相同的小球放入 4 個不同的盒子中，有以下 3 種情況： ① 某一個盒子放 3個小球，就可從這 4個不同的盒子中任選一個放入這 3個小球，有 C14種不同的放法； ② 這 3 個小球分別放入其中的 3 個盒子中，就相當于從 4 個不同的盒子中任選 3個盒子，分別放入這 3 個相同的小球，有 C34種不同放法； ③ 這 3 個小球中有兩個小球放在 1 個盒子中，另 1 個小球放在另一個盒子中，從這 4 個不同的盒子中任選兩個盒子排成一列，有 A24種不同的方法． 綜上可知，滿足題設(shè)條件的放法為 C14＋ C34＋ A24＝ 20(種 )． 法二 “ 每個盒子都不空 ” 的含義是 “ 每個盒子中至少有一個小球 ” ，若用 “ 擋板法 ” ，可易得 C36＝ 20. (2)可看做將 6 個相同小球放入三個不同盒子中，每盒非空有多少種放法．轉(zhuǎn)化為 6 個 0,2 個 1 的排列，要求 1 不排在兩端且不相鄰，共有 C25＝ 10 種排法，因此方程 x＋ y＋ z＝ 6 有 10 組不同的正整 數(shù)解； (3)可看做將 6 個相同小球放入三個不同的盒子中，轉(zhuǎn)化為 6 個 0,2 個 1 的排列，共有 C28＝ 28 種排法，因此方程 x＋ y＋ z＝ 6 有 28 組不同的非負整數(shù)解． 排列與組合的根本區(qū)別在于是 “ 有序 ” 還是 “ 無序 ” ，對于將若干個相同小球放入幾個不同的盒子中，此類問題可利用 “ 擋板法 ” 求解，實質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問題． (2)在計算排列組合問題時，可能會遇到 “ 分組 ” 問題，要特別注意是平均分組還是不平均分組．可從排列與組合的關(guān)系出發(fā)，用類 比的方法去理解分組問題，比如將 4個元素分為兩組，若一組一個、一組三個共有 C14C33種不同的分法； 而平均分為兩組則有 C24C22A22 種不同的分法． 【訓練 3】 有 6 本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？ (1)分成 1 本、 2 本、 3 本三組； (2)分給甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； (3)分成每組都是 2 本的三組； (4)分給甲、乙、丙三人，每人 2 本． 解 (1)分三步：先選一本有 C16種選法；再從余下的 5 本中選 2 本有 C25種選法；對于余下的三本全選有 C33種選法，由分步乘法計數(shù)原理知有 C16C25C33＝ 60種選法． (2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在 (1)的基礎(chǔ)上，還應考慮再分配的問題，因此共有 C16C25C33A33＝ 360 種選法． (3)先分三步，則應是 C26C24C22種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復，不妨記 6 本書為分別 A、 B、 C、 D、 E、 F，若第一步取了 (AB， CD， EF)，則 C26C24C22種分法中還有 (AB、 EF、 CD)， (CD、 AB、 EF)、 (CD、 EF、 AB)、 (EF、 CD、 AB)、 (EF、 AB、CD)共有 A33種情況，而且這 A33種情況僅是 AB、 CD、 EF 的順序不同，因此，只算作一種情況，故分配方式有 C26C24C22A33 ＝ 15(種 )． (4)在問題 (3)的基礎(chǔ)上再分配，故分配方式有 C26C24C22A33 A33＝ C26C24C22＝ 90(種 )． 閱卷報告 16—— 實際問題意義不清，計算重復、遺漏致誤 【問題診斷】 排列組合問題由于其思想方法獨特計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向 .同時解答組合問題時必須心思細膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題 . 【防范措施】 “ 至少、至多型 ” 問題不能利用分步計數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對立事件求解 【 示例 】 ? 有 20 個零件，其中 16 個一等品， 4 個二等品，若從 20 個零件中任意取 3 個，那么至少有 1 個一等品的不同取法有多少種？ 錯因 第二步若取出一等品則與第一步取出的一等品有了先后順序，從而使取法重復． 實錄 按分步原理，第一步確保 1 個一等品，有 C116種取法；第二步從余下的 19個零件中任意取 2 個，有 C219種不同的取法，故共有 C116C219＝ 2 736 種取法． 正解 法一 將 “ 至少有 1 個是一等品的不同取法 ” 分三類： “ 恰有 1 個一等品 ” ， “ 恰有 2 個一等品 ” ， “ 恰有 3 個一等品 ” ，由分類計數(shù)原理有： C116C24＋C216C14＋ C316＝ 1 136(種 )． 法二 考慮其對立事件 “ 3 個都是二等品 ” ，用間接法： C320－ C34＝ 1 136(種 )． 【試一試】 在 10 名演員中， 5 人能歌， 8 人善舞，從中選出 5 人，使這 5 人能演出一個由 1 人獨唱 4 人伴舞的節(jié)目，共有幾種選法？ [嘗試解答 ] 本題中的 “ 雙面手 ” 有 3 個，僅能歌的 2 人，僅善舞的 5 人．把問題分為： (1)獨唱演員從雙面手中選，剩下的 2 個雙面手和只能善舞的 5 個演員一起參加伴舞人員的選拔； (2)獨唱演員不從雙面手中選拔，即從只能唱歌的 2人中選拔，這樣 3 個雙面手就可以和只能善舞的 5 個演員一起參加伴舞人員的選拔．故選法種數(shù)是 C13C47＋ C12C48＝ 245.