計數(shù)原理復(fù)習(xí)資料-預(yù)覽頁
【正文】 1＝ 15(種 )． 法二 恰有 i 個焊點脫落的可能情況為 Ci4(i＝ 1,2,3,4)種，由分類計數(shù)原理，當電路不通時焊點脫落的可能情況共 C14＋ C24＋ C34＋ C44＝ 15(種 )． 答案 15 考向一 分 類加法計數(shù)原理 【例 1】 ?(20202 ＝－ 4＋ 6＝ 2. 答案 2 對于求 多個二項式的和或積的展開式中某項的 系數(shù)問題，要注意排列、組合知識的運用，還要注意有關(guān)指數(shù)的運算性質(zhì)．二項式定理研究兩項和的展開式，對于三項式問題，一般是通過合并其中的兩項或進行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式去求解． 【訓(xùn)練 3】 (20202，得 a0＋ a2＋ a4＋ a6＝ － 1＋ 372 ＝ 1 093. (4)∵ (1－ 2x)7展開式中， a0， a2， a4， a6大于零，而 a1， a3， a5， a7小于零， ∴ |a0|＋ |a1|＋ |a2|＋ ? ＋ |a7|＝ (a0＋ a2＋ a4＋ a6)－ (a1＋ a3＋ a5＋ a7)＝ 1 093－ (－ 1 094)＝ 2 187. 考向三 二項式的和與積 【例 3】 ?(1＋ 2x)3(1－ x)4展開式中 x 項的系數(shù)為 ________． [審題視點 ] 求多個二項式積的某項系數(shù)，要會轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式． 解析 (1＋ 2x)3(1－ x)4展開式中的 x 項的系數(shù)為兩個因式相乘而得到，即第一個因式的常數(shù)項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數(shù)項，它為 C03(2x)0重慶 )(1＋ 3x)n(其中 n∈ N且 n≥ 6)的展開式中 x5與 x6的系數(shù)相等，則 n＝ ( )． A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 解析 Tr＋ 1＝ Crn(3x)r＝ 3rCrnxr 由已知條件 35C5n＝ 36C6n 即 C5n＝ 3C6n n！5！ ?n－ 5?！ ＝ 3n！6！ ?n－ 6?！ 整理得 n＝ 7 答案 B 5． (2020福建 )(1＋ 2x)5的展開式中， x2的系數(shù)等于 ( )． A． 80 B． 40 C． 20 D． 10 解析 Tr＋ 1＝ Cr5(2x)r＝ 2rCr5xr， 當 r＝ 2 時， T3＝ 40x2. 答案 B 2．若 (1＋ 2)5＝ a＋ b 2(a， b 為有理數(shù) )，則 a＋ b＝ ( )． A． 45 B． 55 C． 70 D． 80 解析 (1＋ 2)5＝ 1＋ 5 2＋ 10( 2)2＋ 10( 2)3＋ 5( 2)4＋ ( 2)5＝ 41＋ 29 2 由已知條件 a＝ 41， b＝ 29，則 a＋ b＝ 70. 答案 C 3． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )若 (x－ 1)4＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ a3x3＋ a4x4，則 a0＋ a2＋a4的值為 ( )． A． 9 B． 8 C． 7 D． 6 解析 令 x＝ 1，則 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 0 令 x＝－ 1，則 a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4＝ 16 ∴ a0＋ a2＋ a4＝ 8. 答案 B 4． (20202，得 a1＋ a3＋ a5＋ a7＝ － 1－ 372 ＝－ 1 094. (3)(① ＋ ② )247。C 14(－ 1)＋ C13濱州調(diào)研 )甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，則甲、乙所選的課程中恰有 1 門相同的選法有 ( )． A． 6 種 B． 12 種 C． 24 種 D． 30 種 解析 分步 完成．首先甲、乙兩人從 4 門課程中同選 1 門，有 4 種方法，其次甲從剩下的 3 門課程中任選 1 門，有 3 種方法，最后乙從剩下的 2 門課程中任選 1門，有 2 種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有 1 門相同的選法共有 4 3 2＝ 24(種 )，故選 C. 答案 C 4． (2020湖北 )給 n 個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當 n≤ 4 時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當 n＝ 6 時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 __________種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 ________種． (結(jié)果用 數(shù)值表示 ) [嘗試解答 ] (1)當 n＝ 6 時，如果沒有黑色正方形有 1 種方案，當有 1 個黑色正方形時，有 6 種方案，當有兩個黑色正方形時，采用插空法，即兩個黑色正方形插入四個白色正方形形成的 5 個空內(nèi)，有 C25＝ 10 種方案，當有三個黑色正方形時，同上方法有 C34＝ 4 種方案，由圖可知不可能有 4 個， 5 個， 6 個黑色正方形，綜上可知共有 21 種方案． (2)將 6 個正方形空格涂有黑白兩種顏色，每個空格都有兩種方案，由分步計數(shù)原理一共有 26種方案，本問所求事件為 (1)的對立事件 ，故至少有兩個黑色正方形相鄰的方案有 26－ 21＝ 43(種 )． 答案 21 43 第 2 講 排列與組合 【高考會這樣考】 1．考查排列組合的概念及其公式的推導(dǎo)． 2．考查排列組合的應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時要掌握好基本計算公式和基本解題指導(dǎo)思想，掌握一些排列組合的基本模式題的解決方法，如指標分配問題、均勻分組問題、雙重元素問題、涂色問題、相鄰或不相鄰問題等． 基礎(chǔ)梳理 1．排列 (1)排列的概念：從 n 個 不同 元素中，任取 m(m≤ n)個元素 (這里的被取 元素各不相同 )按照一定的 順序 排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列． (2)排列數(shù)的定義：從 n 個不同元素中，任取 m(m≤ n)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的排列數(shù)，用符號 Amn表示． (3)排列數(shù)公式 Amn＝ n(n－ 1)(n－ 2)? (n－ m＋ 1)． (4)全排列數(shù)公式 Ann＝ n(n－ 1)(n－ 2)? 2A33＝ C26C24C22＝ 90(種 )． 閱卷報告 16—— 實際問題意義不清，計算重復(fù)、遺漏致誤 【問題診斷】 排列組合問題由于其思想方法獨特計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向 .同時解答組合問題時必須心思細膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題 . 【防范措施】 “ 至少、至多型 ” 問題不能利用分步計數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對立事件求解 【 示例 】 ? 有 20 個零件，其中 16 個一等品， 4 個二等品，若從 20 個零件中任意取 3 個，那么至少有 1 個一等品的不同取法有多少種？ 錯因 第二步若取出一等品則與第一步取出的一等品有了先后順序，從而使取法重復(fù)． 實錄 按分步原理，第一步確保 1 個一等品，有 C116種取法；第二步從余下的 19個零件中任意取 2 個，有 C219種不同的取法，故共有 C116C219＝ 2 736 種取法． 正解 法一 將 “ 至少有 1 個是一等品的不同取法 ” 分三類： “ 恰有 1 個一等品 ” ， “ 恰有 2 個一等品 ” ， “ 恰有 3 個一等品 ” ，由分類計數(shù)原理有： C116C24＋C216C14＋ C316＝ 1 136(種 )． 法二 考慮其對立事件 “ 3 個都是二等品 ” ，用間接法： C320－ C34＝ 1 136(種 )． 【試一試】 在 10 名演員中， 5 人能歌， 8 人善舞，從中選出 5 人，使這 5 人能演出一個由 1 人獨唱 4 人伴舞的節(jié)目，共有幾種選法？ [嘗試解答 ] 本題中的 “ 雙面手 ” 有 3 個，僅能歌的 2 人，僅善舞的 5 人．把問題分為： (1)獨唱演員從雙面手中選，剩下的 2 個雙面手和只能善舞的 5 個演員一起參加伴舞人員的選拔； (2)獨唱演員不從雙面手中選拔，即從只能唱歌的 2人中選拔，這樣 3 個雙面手就可以和只能善舞的 5 個演員一起參加伴舞人員的選拔．故選法種數(shù)是 C13C47＋ C12C48＝ 245.
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