計數(shù)原理復(fù)習(xí)資料-文庫吧
2025-07-17 10:59 本頁面
【正文】 【訓(xùn)練 2】 已知 (1－ 2x)7＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ ? ＋ a7x7. 求： (1)a1＋ a2＋ ? ＋ a7； (2)a1＋ a3＋ a5＋ a7； (3)a0＋ a2＋ a4＋ a6； (4)|a0|＋ |a1|＋ |a2|＋ ? ＋ |a7|. 解 令 x＝ 1，則 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝－ 1.① 令 x＝－ 1，則 a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4－ a5＋ a6－ a7＝ 37.② (1)∵ a0＝ C07＝ 1， ∴ a1＋ a2＋ a3＋ ? ＋ a7＝－ 2. (2)(① － ② )247。2，得 a1＋ a3＋ a5＋ a7＝ － 1－ 372 ＝－ 1 094. (3)(① ＋ ② )247。2，得 a0＋ a2＋ a4＋ a6＝ － 1＋ 372 ＝ 1 093. (4)∵ (1－ 2x)7展開式中， a0， a2， a4， a6大于零，而 a1， a3， a5， a7小于零， ∴ |a0|＋ |a1|＋ |a2|＋ ? ＋ |a7|＝ (a0＋ a2＋ a4＋ a6)－ (a1＋ a3＋ a5＋ a7)＝ 1 093－ (－ 1 094)＝ 2 187. 考向三 二項式的和與積 【例 3】 ?(1＋ 2x)3(1－ x)4展開式中 x 項的系數(shù)為 ________． [審題視點 ] 求多個二項式積的某項系數(shù)，要會轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式． 解析 (1＋ 2x)3(1－ x)4展開式中的 x 項的系數(shù)為兩個因式相乘而得到，即第一個因式的常數(shù)項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數(shù)項，它為 C03(2x)0C 14(－ x)1＋ C13(2x)1C 0414(－ x)0，其系數(shù)為 C03C 14(－ 1)＋ C132 ＝－ 4＋ 6＝ 2. 答案 2 對于求 多個二項式的和或積的展開式中某項的 系數(shù)問題，要注意排列、組合知識的運用，還要注意有關(guān)指數(shù)的運算性質(zhì)．二項式定理研究兩項和的展開式，對于三項式問題，一般是通過合并其中的兩項或進行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式去求解． 【訓(xùn)練 3】 (2020廣東 )x??? ???x－ 2x 7的展開式中， x4的系數(shù)是 ________(用數(shù)字作答 )． 解析 原問題等價于求 ??? ???x－ 2x 7的 展開式中 x3的系數(shù)， ??? ???x－ 2x 7的通項 Tr＋ 1＝ Cr7x7－ r??????－ 2xr＝ (－ 2)rCr7x7－ 2r，令 7－ 2r＝ 3 得 r＝ 2， ∴ x3 的系數(shù)為 (－ 2)2C27＝ 84，即x??? ???x－ 2x 7的展開式中 x4的系數(shù)為 84. 答案 84 難點突破 23—— 排列組合在二項展開式中的應(yīng)用 (a＋ b)n展開式可以由次數(shù)、項數(shù)和系數(shù)來確定． (1)次數(shù)的確定 從 n 個相同的 a＋ b 中各取一個 (a 或 b)乘起來，可以構(gòu)成展開式中的一項，展開式中項的形式是 mapbq， 其中 p∈ N， q∈ N， p＋ q＝ n. (2)項數(shù)的確定 滿足條件 p＋ q＝ n， p∈ N， q∈ N的 (p， q)共 n＋ 1 組． 即將 (a＋ b)n展開共 2n項，合并同類項后共 n＋ 1 項． (3)系數(shù)的確定 展開式中含 apbq(p＋ q＝ n)項的系數(shù)為 Cqn(即 p 個 a， q 個 b 的排列數(shù) )因此 (a＋ b)n展開式中的通項是 Tr＋ 1＝ Crnan－ rbr(r＝ 0,1,2， ? ， n) (a＋ b)n＝ C0nan＋ C1nan－ 1b＋ C2nan－ 2b2＋ ? ＋ Cnnbn 這種方法比數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)二項式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項展開，也可三項展開，四項展開等． 【示例】 ? 若多項 式 x3＋ x10＝ a0＋ a1(x＋ 1)＋ ? ＋ a9(x＋ 1)9＋ a10(x＋ 1)10，則 a9＝( )． A． 9 B． 10 C．－ 9 D．－ 10 第 1 講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 【高考會這樣考】 考查分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時要弄清分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系，這是解排列組合問題的基礎(chǔ)． 基礎(chǔ)梳理 1． 分類加法計數(shù) 原理 完成一件事有 n 類不同的方案，在第一類方案中有 m1種不同的方法，在第二類方案中有 m2種不同的方法， ?? ，在第 n 類方案中有 mn種不同的方法，則完成這件事情共有 N＝ m1＋ m2＋ ? ＋ mn種不同的方法． 2． 分步乘法計數(shù)原理 完成一件事情需要分成 n 個不同的步驟，完成第一步有 m1種不同的方法，完成第二步有 m2種不同的方法， ?? ，完成第 n 步有 mn種不同的方法，那么完成這件事情共有 N＝ m1 m2? mn種不同的方法． 兩個原理 分類加法計數(shù)原理與分步乘 法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)并貫穿始終．分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類，簡單的說分類的標(biāo)準(zhǔn)是 “ 不重不漏，一步完成 ” ． 而分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，在各個步驟中任取一種方法，即是完成這件事的一種方法，簡單的說步與步之間的方法 “ 相互獨立，多步完成 ” ． 類比加法與乘法的關(guān)系，在特定的情況下分步乘法計數(shù)原理可簡化運用分類加法計數(shù)原理的過程． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )由 0,1,2,3 這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有 ( )． A． 238 個 B． 232 個 C． 174 個 D． 168 個 解析 可用排除法由 0,1,2,3 可組成的四位數(shù)共有 3 43＝ 192(個 )，其中無重復(fù)的數(shù)字的四位數(shù)共有 3A33＝ 18(個 )，故共有 192－ 18＝ 174(個 )． 答案 C 2． (2020廣州模擬 )已知集合 A＝ {1,2,3,4}， B＝ {5,6,7}， C＝ {8,9}．現(xiàn)在從這三個集合中取出兩個集合，再從這兩個集合中各取出一個元素，組成一個含有兩個元素的集合，則一共可以組成多少個集合 ( )． A． 24 個 B． 36 個 C． 26 個 D． 27 個 解析 C14C13＋ C14C12＋ C13C12＝ 26，故選 C. 答案 C 3． (2020濱州調(diào)研 )甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，則甲、乙所選的課程中恰有 1 門相同的選法有 ( )． A． 6 種 B． 12 種 C． 24 種 D． 30 種 解析 分步 完成．首先甲、乙兩人從 4 門課程中同選 1 門，有 4 種方法，其次甲從剩下的 3 門課程中任選 1 門，有 3 種方法，最后乙從剩下的 2 門課程中任選 1門，有 2 種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有 1 門相同的選法共有 4 3 2＝ 24(種 )，故選 C. 答案 C 4． (2020湖南 )在某種信息傳輸過程中，用 4 個數(shù)字的一個排列 (數(shù)字允許重復(fù) )表示一個信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有 0 和 1，則與信息 0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為 ( )． A． 10 B． 11 C． 12 D． 15 解析 若 4 個位置的數(shù)字都不同的信息個數(shù)為 1；若恰有 3 個位置的數(shù)字不同的信息個數(shù)為 C34；若恰有 2 個位置上的數(shù)字不同的信息個數(shù)為 C24，由分類計數(shù)原理知滿足條件的信息個數(shù)為 1＋ C34＋ C24＝ 11. 答案 B 5．某電子元件是由 3 個電阻組成的回路，其中有 4 個焊點 A、 B、 C、 D，若某個焊點脫落，整個電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那 么焊點脫落的可能情況共有 ________種． 解析 法一 當(dāng)線路不通時焊點脫落的可能情況共有 2 2 2 2－ 1＝ 15(種 )． 法二 恰有 i 個焊點脫落的可能情況為 Ci4(i＝ 1,2,3,4)種，由分類計數(shù)原理，當(dāng)電路不通時焊點脫落的可能情況共 C14＋ C24＋ C34＋ C44＝ 15(種 )． 答案 15 考
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