【正文】 定理的核心是其展開式的通項(xiàng)公式，復(fù)習(xí)時(shí)要熟練掌握這個(gè)公式，注意二項(xiàng)式定理在解決有關(guān)組合數(shù)問題中的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．二項(xiàng)式定理 (a＋ b)n＝ C0nan＋ C1nan－ 1b＋ ? ＋ Crnan－ rbr＋ ? ＋ Cnnbn(n∈ N*)這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫 (a＋ b)n的 二項(xiàng)展開式． 其中的系數(shù) Crn(r＝ 0,1， ? ， n)叫 二項(xiàng)式 系數(shù)． 式中的 Crnan－ rbr叫二項(xiàng)展開式的 通項(xiàng) ，用 Tr＋ 1表示，即通項(xiàng) Tr＋ 1＝ Crnan－ rbr. 2． 二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn) (1)項(xiàng)數(shù)為 n＋ 1. (2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù) n，即 a 與 b 的指數(shù)的和為 n. (3)字母 a 按 降冪 排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由 n 逐項(xiàng)減 1 直到零；字母 b 按 升冪 排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增 1 直到 n. (4)二項(xiàng)式的系數(shù)從 C0n， C1n，一直到 Cn－ 1n ， Cnn. 3． 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性：與首末兩端 “ 等距離 ” 的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù) 相等． 即 Crn＝ Cn－ rn . (2)增減性與最大值： 二項(xiàng)式系數(shù) Ckn，當(dāng) k＜ n＋ 12 時(shí)，二項(xiàng) 式系數(shù)逐漸 增大． 由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的； 當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng) Cn2n取得最大值； 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng) Cn－ 12 n， Cn＋ 12 n取得最大值． (3)各二項(xiàng)式系數(shù)和： C0n＋ C1n＋ C2n＋ ? ＋ Crn＋ ? ＋ Cnn＝ 2n； C0n＋ C2n＋ C4n＋ ? ＝ C1n＋ C3n＋ C5n＋ ? ＝ 2n－ 1. 一個(gè)防范 運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng) Tr＋ 1＝ Crnan－ rbr，注意 (a＋ b)n與 (b＋ a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不同的，一定要注意順序問題，另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的 (字母 )系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指 Crn，而后者是字母外的部分．前者只與 n和 r有關(guān)，恒為正，后者還與 a， b有關(guān)，可正可負(fù)． 一個(gè)定理 二項(xiàng)式定理可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可根據(jù)次數(shù)，項(xiàng)數(shù)和系數(shù)利用排列組合的知識推導(dǎo)二項(xiàng)式定理．因此二項(xiàng)式定理是排列組合知識的發(fā)展和延續(xù)． 兩種應(yīng)用 (1)通項(xiàng)的應(yīng)用：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可求指定的項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)等． (2)展開式的應(yīng)用：利用展開式 ① 可證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的等式； ② 可證明不等式； ③ 可證明整除問題； ④ 可做近似計(jì)算等． 三條性質(zhì) (1)對稱性； (2)增減性； (3)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和； 以上性質(zhì)可通過觀察楊輝三角進(jìn)行歸納總結(jié)． 雙基自測 1． (2020C 0414(－ x)0，其系數(shù)為 C03北京 )用數(shù)字 2,3 組成四位數(shù)，且數(shù)字 2,3 至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有 ________個(gè) (用數(shù)字作答 )． [審題視點(diǎn) ] 組成這個(gè)四位數(shù)須分 4步完成，故用分步乘法計(jì)數(shù)原理． 解析 法一 用 2,3 組成四位數(shù)共有 2 2 2 2＝ 16(個(gè) )，其中不出現(xiàn) 2 或不出現(xiàn) 3 的共 2 個(gè)，因此滿足條件的四位數(shù)共有 16－ 2＝ 14(個(gè) )． 法二 滿足條件的四位數(shù)可 分為三類：第一類含有一個(gè) 2，三個(gè) 3，共有 4 個(gè)；第二類含有三個(gè) 2，一個(gè) 3 共有 4 個(gè)；第三類含有二個(gè) 2，二個(gè) 3 共有 C24＝ 6(個(gè) )，因此滿足條件的四位數(shù)共有 2 4＋ C24＝ 14(個(gè) )． 答案 14 此類問題，首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積．注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事．簡單說使用分步計(jì)數(shù)原理的原則是步與步之間的方法 “ 相互獨(dú)立，逐步完成 ” ． 【訓(xùn)練 2】 由數(shù)字 1,2,3,4， (1)可組成多少個(gè) 3 位數(shù)； (2)可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的 3 位數(shù)； (3)可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字． 解 (1)百位數(shù)共有 4 種排法；十位數(shù)共有 4 種排法；個(gè)位數(shù)共有 4 種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共可組成 43＝ 64 個(gè) 3 位數(shù)． (2)百位上共有 4 種排法；十位上共有 3 種排法；個(gè)位上共有 2 種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共可排成沒有重復(fù)數(shù)字的 3 位數(shù) 4 3 2＝ 24(個(gè) )． (3)排出的三位數(shù)分別是 43 43 42 321，共 4 個(gè)． 考向三 涂色問題 【例 3】 ? 如圖，用 5 種不同的顏色給圖中 A、 B、 C、 D 四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？ [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)乘法原理逐塊涂色，要注意在不相鄰的區(qū)域內(nèi)可使用同一種顏色． 解 法一 如題圖分四個(gè)步驟來完成涂色這件事： 涂 A有 5 種涂法；涂 B 有 4 種方法；涂 C 有 3 種方法；涂 D 有 3 種方法 (還可以使用涂 A的顏色 )． 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有 5 4 3 3＝ 180 種涂色方法． 法二 由于 A、 B、 C 兩兩相鄰，因此三個(gè)區(qū)域的顏色互不相同，共有 A35＝ 60 種涂法；又 D 與 B、 C 相鄰、因此 D 有 3 種涂法；由分步計(jì)數(shù)原理知共有 60 3＝ 180 種涂法． 涂色問題的實(shí)質(zhì)是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時(shí)還要進(jìn)行分類．涂色問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實(shí)際情況，結(jié)合兩個(gè)基本原理和排列組合的知識靈活處理． 【訓(xùn)練 3】 如圖所示，將一 個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有 5 種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)． 解 法一 可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘法原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐 S ABCD的頂點(diǎn) S、 A、 B 所染的顏色互不相同，它們共有 5 4 3＝ 60 種染色方法． 當(dāng) S、 A、 B 染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為 3，若 C 染 2，則 D 可染 3 或 4或 5，有 3 種染法；若 C 染 4，則 D 可染 3 或 5，有 2 種染法，若 C 染 5，則 D可染 3 或 4，有 2 種染法．可見，當(dāng) S、 A、 B 已染好時(shí)， C、 D 還有 7 種染法，故不同的染色方法有 60 7＝ 420(種 )． 法二 以 S、 A、 B、 C、 D 順序分步染色 第一步， S 點(diǎn)染色，有 5 種方法； 第二步， A點(diǎn)染色，與 S 在同一條棱上，有 4 種方法； 第三步， B 點(diǎn)染色，與 S、 A分別在同一條棱上，有 3 種方法； 第四步， C 點(diǎn)染色，也有 3 種方法，但考慮到 D 點(diǎn)與 S、 A、 C 相鄰，需要針對A 與 C 是否同色進(jìn)行分類，當(dāng) A 與 C 同色時(shí)， D 點(diǎn)有 3 種染色方法；當(dāng) A 與 C不同色時(shí)，因?yàn)?C 與 S、 B 也不同色，所以 C 點(diǎn)有 2 種染色方法， D 點(diǎn)也有 2 種染色方法．由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的 染色方法共有5 4 3 (1 3＋ 2 2)＝ 420(種 )． 法三 按所用顏色種數(shù)分類 第一類， 5 種顏色全用，共有 A55種不同的方法； 第二類，只用 4 種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色 (A與 C，或 B 與 D)，共有 2 A45種不同的方法； 第三類，只用 3 種顏色，則 A與 C、 B 與 D 必定同色，共有 A35種不同的方法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為 A 55＋ 2 A 45＋ A 35＝420( 種 ) ． 規(guī)范解答 20—— 如何解決涂色問題 【問題研究】 涂色問題是由兩個(gè)基本原理和排列組合知識的綜合運(yùn)用所產(chǎn)生的一類問題，這類問題是計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的典型問題，由于涂色本身就是策略的一個(gè)運(yùn)用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂色問題的趣味性，自然成為新課標(biāo)高考的命題熱點(diǎn) . 【解決方案】 涂色問題的關(guān)鍵是顏色的數(shù)目和在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同一種顏色，具體操作法和按照顏色的數(shù)目進(jìn)行分類法是解決這類 問題的首選方法 . 【 示例 】 ? (本小題滿分 12 分 )用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在 “ 田 ” 字形的 4 個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，