計數(shù)原理復(fù)習(xí)資料-wenkub.com
2025-08-06 10:59 本頁面
【正文】 山東 )某臺小型晚會由 6 個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位．該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有 ( )． A． 36 種 B． 42 種 C． 48 種 D． 54 種 解析 因為丙必須排在最后一位，因此只需考慮其余五人在前五位上的排法．當(dāng)甲排在第一位時，有 A44＝ 24 種排法，當(dāng)甲排在第二位時，有 A13全國 )某同學(xué)有同樣的畫冊 2 本，同樣的集郵冊 3 本，從中取出 4本贈送給 4 位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有 ( )． A． 4 種 B． 10 種 C． 18 種 D． 20 種 [審題視點 ] 由于是兩類不同的書本，故用分類加法計數(shù)原理． 解析 贈送一本畫冊， 3 本集郵冊，共 4 種方法；贈送 2 本畫冊， 2 本集郵冊共C24種方法，由分類計數(shù)原理知不同的贈送方法共 4＋ C24＝ 10(種 )． 答案 B 分類時，首先要確定一個恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后進(jìn)行分類；其次分類時要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理． 【訓(xùn)練 1】 如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有 ________個． 解析 把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類： 第一類，有一條公共邊的三角形共有 8 4＝ 32(個 )； 第二類，有兩條公共邊的三角形共有 8(個 )． 由分類加法計數(shù)原理知，共有 32＋ 8＝ 40(個 )． 答案 40 考向二 分步乘法計數(shù)原理 【例 2】 ?(2020廣東 )x??? ???x－ 2x 7的展開式中， x4的系數(shù)是 ________(用數(shù)字作答 )． 解析 原問題等價于求 ??? ???x－ 2x 7的 展開式中 x3的系數(shù)， ??? ???x－ 2x 7的通項 Tr＋ 1＝ Cr7x7－ r??????－ 2xr＝ (－ 2)rCr7x7－ 2r，令 7－ 2r＝ 3 得 r＝ 2， ∴ x3 的系數(shù)為 (－ 2)2C27＝ 84，即x??? ???x－ 2x 7的展開式中 x4的系數(shù)為 84. 答案 84 難點突破 23—— 排列組合在二項展開式中的應(yīng)用 (a＋ b)n展開式可以由次數(shù)、項數(shù)和系數(shù)來確定． (1)次數(shù)的確定 從 n 個相同的 a＋ b 中各取一個 (a 或 b)乘起來，可以構(gòu)成展開式中的一項，展開式中項的形式是 mapbq， 其中 p∈ N， q∈ N， p＋ q＝ n. (2)項數(shù)的確定 滿足條件 p＋ q＝ n， p∈ N， q∈ N的 (p， q)共 n＋ 1 組． 即將 (a＋ b)n展開共 2n項，合并同類項后共 n＋ 1 項． (3)系數(shù)的確定 展開式中含 apbq(p＋ q＝ n)項的系數(shù)為 Cqn(即 p 個 a， q 個 b 的排列數(shù) )因此 (a＋ b)n展開式中的通項是 Tr＋ 1＝ Crnan－ rbr(r＝ 0,1,2， ? ， n) (a＋ b)n＝ C0nan＋ C1nan－ 1b＋ C2nan－ 2b2＋ ? ＋ Cnnbn 這種方法比數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)二項式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項展開，也可三項展開，四項展開等． 【示例】 ? 若多項 式 x3＋ x10＝ a0＋ a1(x＋ 1)＋ ? ＋ a9(x＋ 1)9＋ a10(x＋ 1)10，則 a9＝( )． A． 9 B． 10 C．－ 9 D．－ 10 第 1 講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 【高考會這樣考】 考查分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時要弄清分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系，這是解排列組合問題的基礎(chǔ)． 基礎(chǔ)梳理 1． 分類加法計數(shù) 原理 完成一件事有 n 類不同的方案，在第一類方案中有 m1種不同的方法，在第二類方案中有 m2種不同的方法， ?? ，在第 n 類方案中有 mn種不同的方法，則完成這件事情共有 N＝ m1＋ m2＋ ? ＋ mn種不同的方法． 2． 分步乘法計數(shù)原理 完成一件事情需要分成 n 個不同的步驟，完成第一步有 m1種不同的方法，完成第二步有 m2種不同的方法， ?? ，完成第 n 步有 mn種不同的方法，那么完成這件事情共有 N＝ m1 m2? mn種不同的方法． 兩個原理 分類加法計數(shù)原理與分步乘 法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)并貫穿始終．分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類，簡單的說分類的標(biāo)準(zhǔn)是 “ 不重不漏，一步完成 ” ． 而分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，在各個步驟中任取一種方法，即是完成這件事的一種方法，簡單的說步與步之間的方法 “ 相互獨立，多步完成 ” ． 類比加法與乘法的關(guān)系，在特定的情況下分步乘法計數(shù)原理可簡化運用分類加法計數(shù)原理的過程． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )由 0,1,2,3 這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有 ( )． A． 238 個 B． 232 個 C． 174 個 D． 168 個 解析 可用排除法由 0,1,2,3 可組成的四位數(shù)共有 3 43＝ 192(個 )，其中無重復(fù)的數(shù)字的四位數(shù)共有 3A33＝ 18(個 )，故共有 192－ 18＝ 174(個 )． 答案 C 2． (2020C 14(－ x)1＋ C13(2x)1安徽 )設(shè) (x－ 1)21＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ ? ＋ a21x21，則 a10＋ a11＝ ________. 解析 Tr＋ 1＝ Cr21x21－ r(－ 1)r＝ (－ 1)rCr21x21－ r 由題意知 a10， a11分別是含 x10和 x11項的系數(shù)，所以 a10＝－ C1121， a11＝ C1021， ∴ a10＋ a11＝ C1021－ C1121＝ 0. 答案 0 考向一 二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù) 【例 1】 ?已知在????????3 x－ 33 xn的展開式中，第 6 項為常數(shù)項． (1)求 n； (2)求含 x2的項的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項． [審題視點 ] 準(zhǔn)確記住二項展開式的通項公式是解此類題的關(guān)鍵． 解 通項公式為 Tr＋ 1＝ Crnxn－ r3 (－ 3)rx－ r3＝ (－ 3)rCrnxn－ 2r3 . (1)∵ 第 6 項為常數(shù)項， ∴ r＝ 5 時，有 n－ 2r3 ＝ 0，解得 n＝ 10. (2)令 n－ 2r3 ＝ 2，得 r＝ 12(n－ 6)＝ 2， ∴ x2的項的系數(shù) 為 C210(－ 3)2＝ 405. (3)由題意知????? 10－ 2r3 ∈ Z，0≤ r≤ 10，r∈ Z.令 10－ 2r3 ＝ k(k∈ Z)，則 10－ 2r＝ 3k，即 r＝ 5－ 32k，∵ r∈ Z， ∴ k 應(yīng)為偶數(shù)， ∴ k＝ 2,0，－ 2，即 r＝ 2,5,8.∴ 第 3 項，第 6 項，第 9 項為有理項，它們分別為 405x2，－ 61 236,295 245x－ 2. 求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進(jìn)行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求 (求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等 )，解出項數(shù) k＋ 1，代回通項公式即可． 【訓(xùn)練 1】 (2020第 3 講 二項式定理 【高考會這樣考】 1．能用計數(shù)原理證明二項式定理． 2．會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 二項式定理的核心是其展開式的通項公式，復(fù)習(xí)時要熟練掌握這個公式，注意二項式定理在解決有關(guān)組合數(shù)問題中的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．二項式定理 (a＋ b)n＝ C0nan＋ C1nan－ 1b＋ ? ＋ Crnan－ rbr＋ ? ＋ Cnnbn(n∈ N*)這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫 (a＋ b)n的 二項展開式． 其中的系數(shù) Crn(r＝ 0,1， ? ， n)叫 二項式 系數(shù)． 式中的 Crnan－ rbr叫二項展開式的 通項 ，用 Tr＋
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