計(jì)數(shù)原理復(fù)習(xí)資料-全文預(yù)覽
【正文】 甲、乙所選課程中恰有 1 門相同的選法種數(shù)共有 C24C12C12＝ 24(種 )． (2)甲、乙兩人從 4 門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為 C24C24，又甲乙兩人所選的兩門課程都相 同的選法種數(shù)為 C24種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為 C24C24－C24＝ 30(種 )． 考向三 排列、組合的綜合應(yīng)用 【例 3】 ?(1)7 個(gè)相同的小球，任意放入 4 個(gè)不同的盒子中，試問：每個(gè)盒子都不空的放法共有多少種？ (2)計(jì)算 x＋ y＋ z＝ 6 的正整數(shù)解有多少組； (3)計(jì)算 x＋ y＋ z＝ 6 的非負(fù)整數(shù)解有多少組． [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)題目要求分類求解，做到不重不漏． 解 (1)法一 先將其中 4 個(gè)相同的小球 放入 4 個(gè)盒子中，有 1 種放法；再將其余 3 個(gè)相同的小球放入 4 個(gè)不同的盒子中，有以下 3 種情況： ① 某一個(gè)盒子放 3個(gè)小球，就可從這 4個(gè)不同的盒子中任選一個(gè)放入這 3個(gè)小球，有 C14種不同的放法； ② 這 3 個(gè)小球分別放入其中的 3 個(gè)盒子中，就相當(dāng)于從 4 個(gè)不同的盒子中任選 3個(gè)盒子，分別放入這 3 個(gè)相同的小球，有 C34種不同放法； ③ 這 3 個(gè)小球中有兩個(gè)小球放在 1 個(gè)盒子中，另 1 個(gè)小球放在另一個(gè)盒子中，從這 4 個(gè)不同的盒子中任選兩個(gè)盒子排成一列，有 A24種不同的方法． 綜上可知，滿足題設(shè)條件的放法為 C14＋ C34＋ A24＝ 20(種 )． 法二 “ 每個(gè)盒子都不空 ” 的含義是 “ 每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球 ” ，若用 “ 擋板法 ” ，可易得 C36＝ 20. (2)可看做將 6 個(gè)相同小球放入三個(gè)不同盒子中，每盒非空有多少種放法．轉(zhuǎn)化為 6 個(gè) 0,2 個(gè) 1 的排列，要求 1 不排在兩端且不相鄰，共有 C25＝ 10 種排法，因此方程 x＋ y＋ z＝ 6 有 10 組不同的正整 數(shù)解； (3)可看做將 6 個(gè)相同小球放入三個(gè)不同的盒子中，轉(zhuǎn)化為 6 個(gè) 0,2 個(gè) 1 的排列，共有 C28＝ 28 種排法，因此方程 x＋ y＋ z＝ 6 有 28 組不同的非負(fù)整數(shù)解． 排列與組合的根本區(qū)別在于是 “ 有序 ” 還是 “ 無序 ” ，對(duì)于將若干個(gè)相同小球放入幾個(gè)不同的盒子中，此類問題可利用 “ 擋板法 ” 求解，實(shí)質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問題． (2)在計(jì)算排列組合問題時(shí)，可能會(huì)遇到 “ 分組 ” 問題，要特別注意是平均分組還是不平均分組．可從排列與組合的關(guān)系出發(fā)，用類 比的方法去理解分組問題，比如將 4個(gè)元素分為兩組，若一組一個(gè)、一組三個(gè)共有 C14C33種不同的分法； 而平均分為兩組則有 C24C22A22 種不同的分法． 【訓(xùn)練 3】 有 6 本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？ (1)分成 1 本、 2 本、 3 本三組； (2)分給甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； (3)分成每組都是 2 本的三組； (4)分給甲、乙、丙三人，每人 2 本． 解 (1)分三步：先選一本有 C16種選法；再從余下的 5 本中選 2 本有 C25種選法；對(duì)于余下的三本全選有 C33種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知有 C16C25C33＝ 60種選法． (2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在 (1)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配的問題，因此共有 C16C25C33A33＝ 360 種選法． (3)先分三步，則應(yīng)是 C26C24C22種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記 6 本書為分別 A、 B、 C、 D、 E、 F，若第一步取了 (AB， CD， EF)，則 C26C24C22種分法中還有 (AB、 EF、 CD)， (CD、 AB、 EF)、 (CD、 EF、 AB)、 (EF、 CD、 AB)、 (EF、 AB、CD)共有 A33種情況，而且這 A33種情況僅是 AB、 CD、 EF 的順序不同，因此，只算作一種情況，故分配方式有 C26C24C22A33 ＝ 15(種 )． (4)在問題 (3)的基礎(chǔ)上再分配，故分配方式有 C26C24C22A33 1＝ n！ (叫做 n 的階乘 )． 2． 組合 (1)組合的定義：一般地，從 n 個(gè) 不同 元素中取 出 m(m≤ n)個(gè)元素并成一組，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合． (2)組合數(shù)的定義：從 n 個(gè)不同元素中取出 m(m≤ n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào) Cmn表示． (3)組合數(shù)公式 Cmn＝ AmnAmm＝n?n－ 1??n－ 2?? ?n－ m＋ 1?m！ ＝n！m！ ?n－ m?！ (n， m∈ N*，且 m≤ n)．特別地 C0n＝ 1. (4)組合數(shù)的性質(zhì)： ① Cmn＝ Cn－ mn ； ② Cmn＋ 1＝ Cmn＋ Cm－ 1n . 一個(gè)區(qū)別 排列與組合，排列與組合最根本的區(qū)別在于 “ 有序 ” 和 “ 無序 ” ． 取出元素后交換順序，如果與順序有關(guān)是排列，如果與順序無關(guān)即是組合． 兩個(gè)公式 (1)排列數(shù)公式 Amn＝ n！?n－ m?！ (2)組合數(shù)公式 Cmn＝ n！m！ ?n－ m?！ 利用這兩個(gè)公式可計(jì)算排列問題中的排列數(shù)和組合問題中的組合數(shù)． ① 解決排列組合問題可遵循 “ 先組合后排列 ” 的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷 “ 有序 ” 和 “ 無序 ” ，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn) “ 有序 ” 和 “ 無序 ” ． ② 要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計(jì)算的排列數(shù)相符，使復(fù)雜問題簡單化，這樣既可以加深對(duì)問題的理解， 檢驗(yàn)算法的正確與否，又可以對(duì)排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果． 四字口訣 求解排列組合問題的思路： “ 排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘． ” 雙基自測 1． 8 名運(yùn)動(dòng)員參加男子 100 米的決賽．已知運(yùn)動(dòng)場有從內(nèi)到外編號(hào)依次為1,2,3,4,5,6,7,8 的八條跑道，若指定的 3 名運(yùn)動(dòng)員所在的跑道編號(hào)必須是三個(gè)連續(xù)數(shù)字 (如： 4,5,6)，則參加比賽的這 8 名運(yùn)動(dòng)員安排跑道的方式共有 ( )． A． 360 種 B． 4 320 種 C． 720 種 D． 2 160 種 解析 本題考 查排列組合知識(shí)，可分步完成，先從 8 個(gè)數(shù)字中取出 3 個(gè)連續(xù)的三個(gè)數(shù)字共有 6 種可能，將指定的 3 名運(yùn)動(dòng)員安排在這三個(gè)編號(hào)的跑道上，最后剩下的 5 個(gè)排在其他的編號(hào)的 5 個(gè)跑道上，故共有 6A33A55＝ 4 320 種方式． 答案 B 2．以一個(gè)正五棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 ( )． A． 200 個(gè) B． 190 個(gè) C． 185 個(gè) D． 180 個(gè) 解析 正五棱柱共有 10 個(gè)頂點(diǎn)，若每四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四面體，共可構(gòu)成 C410＝210 個(gè)四面體．其中 四點(diǎn)在同一平面內(nèi)的有三類： (1)每一底面的五點(diǎn)中選四點(diǎn)的組合方法有 2C45個(gè)． (2)五條側(cè)棱中的任意兩條棱上的四點(diǎn)有 C25個(gè)． (3)一個(gè)底面的一邊與另一個(gè)底面相應(yīng)的一條對(duì)角線平行 (例如 AB∥ E1C1)，這樣共面的四點(diǎn)共有 2C15個(gè)． 所以 C410－ 2C45－ C25－ 2C15＝ 180(個(gè) )，選 D. 答案 D 3． (2020湖南 )在某種信息傳輸過程中，用 4 個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列 (數(shù)字允許重復(fù) )表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有 0 和 1，則與信息 0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為 ( )． A． 10 B． 11 C． 12 D． 15 解析 若 4 個(gè)位置的數(shù)字都不同的信息個(gè)數(shù)為 1；若恰有 3 個(gè)位置的數(shù)字不同的信息個(gè)數(shù)為 C34；若恰有 2 個(gè)位置上的數(shù)字不同的信息個(gè)數(shù)為 C24，由分類計(jì)數(shù)原理知滿足條件的信息個(gè)數(shù)為 1＋ C34＋ C24＝ 11. 答案 B 5．某電子元件是由 3 個(gè)電阻組成的回路，其中有 4 個(gè)焊點(diǎn) A、 B、 C、 D，若某個(gè)焊點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那 么焊點(diǎn)脫落的可能情況共有 ________種． 解析 法一 當(dāng)線路不通時(shí)焊點(diǎn)脫落的可能情況共有 2 2 2 2－
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1