【正文】 濱州調研 )甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，則甲、乙所選的課程中恰有 1 門相同的選法有 ( )． A． 6 種 B． 12 種 C． 24 種 D． 30 種 解析 分步 完成．首先甲、乙兩人從 4 門課程中同選 1 門，有 4 種方法，其次甲從剩下的 3 門課程中任選 1 門，有 3 種方法，最后乙從剩下的 2 門課程中任選 1門，有 2 種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有 1 門相同的選法共有 4 3 2＝ 24(種 )，故選 C. 答案 C 4． (2020重慶 )(1＋ 3x)n(其中 n∈ N且 n≥ 6)的展開式中 x5與 x6的系數(shù)相等，則 n＝ ( )． A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 解析 Tr＋ 1＝ Crn(3x)r＝ 3rCrnxr 由已知條件 35C5n＝ 36C6n 即 C5n＝ 3C6n n！5！ ?n－ 5?！ ＝ 3n！6！ ?n－ 6?！ 整理得 n＝ 7 答案 B 5． (20201＝ n！ (叫做 n 的階乘 )． 2． 組合 (1)組合的定義：一般地，從 n 個 不同 元素中取 出 m(m≤ n)個元素并成一組，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個組合． (2)組合數(shù)的定義：從 n 個不同元素中取出 m(m≤ n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的組合數(shù)．用符號 Cmn表示． (3)組合數(shù)公式 Cmn＝ AmnAmm＝n?n－ 1??n－ 2?? ?n－ m＋ 1?m！ ＝n！m！ ?n－ m?！ (n， m∈ N*，且 m≤ n)．特別地 C0n＝ 1. (4)組合數(shù)的性質： ① Cmn＝ Cn－ mn ； ② Cmn＋ 1＝ Cmn＋ Cm－ 1n . 一個區(qū)別 排列與組合，排列與組合最根本的區(qū)別在于 “ 有序 ” 和 “ 無序 ” ． 取出元素后交換順序，如果與順序有關是排列，如果與順序無關即是組合． 兩個公式 (1)排列數(shù)公式 Amn＝ n！?n－ m?！ (2)組合數(shù)公式 Cmn＝ n！m！ ?n－ m?！ 利用這兩個公式可計算排列問題中的排列數(shù)和組合問題中的組合數(shù)． ① 解決排列組合問題可遵循 “ 先組合后排列 ” 的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷 “ 有序 ” 和 “ 無序 ” ，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關鍵是在計算中體現(xiàn) “ 有序 ” 和 “ 無序 ” ． ② 要能夠寫出所有符合條件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符，使復雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解， 檢驗算法的正確與否，又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果． 四字口訣 求解排列組合問題的思路： “ 排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘． ” 雙基自測 1． 8 名運動員參加男子 100 米的決賽．已知運動場有從內(nèi)到外編號依次為1,2,3,4,5,6,7,8 的八條跑道，若指定的 3 名運動員所在的跑道編號必須是三個連續(xù)數(shù)字 (如： 4,5,6)，則參加比賽的這 8 名運動員安排跑道的方式共有 ( )． A． 360 種 B． 4 320 種 C． 720 種 D． 2 160 種 解析 本題考 查排列組合知識，可分步完成，先從 8 個數(shù)字中取出 3 個連續(xù)的三個數(shù)字共有 6 種可能，將指定的 3 名運動員安排在這三個編號的跑道上，最后剩下的 5 個排在其他的編號的 5 個跑道上，故共有 6A33A55＝ 4 320 種方式． 答案 B 2．以一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有 ( )． A． 200 個 B． 190 個 C． 185 個 D． 180 個 解析 正五棱柱共有 10 個頂點，若每四個頂點構成一個四面體，共可構成 C410＝210 個四面體．其中 四點在同一平面內(nèi)的有三類： (1)每一底面的五點中選四點的組合方法有 2C45個． (2)五條側棱中的任意兩條棱上的四點有 C25個． (3)一個底面的一邊與另一個底面相應的一條對角線平行 (例如 AB∥ E1C1)，這樣共面的四點共有 2C15個． 所以 C410－ 2C45－ C25－ 2C15＝ 180(個 )，選 D. 答案 D 3． (2020C 0414(－ x)0，其系數(shù)為 C03C 14(－ x)1＋ C13(2x)1山東 )某臺小型晚會由 6 個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位．該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有 ( )． A． 36 種 B． 42 種 C． 48 種 D． 54 種 解析 因為丙必須排在最后一位，因此只需考慮其余五人在前五位上的排法．當甲排在第一位時，有 A44＝ 24 種排法，當甲排在第二位時，有 A13安徽 )設 (x－ 1)21＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ ? ＋ a21x21，則 a10＋ a11＝ ________. 解析 Tr＋ 1＝ Cr21x21－ r(－ 1)r＝ (－ 1)rCr21x21－ r 由題意知 a10， a11分別是含 x10和 x11項的系數(shù)，所以 a10＝－ C1121， a11＝ C1021， ∴ a10＋ a11＝ C1021－ C1121＝ 0. 答案 0 考向一 二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù) 【例 1】 ?已知在????????3 x－ 33 xn的展開式中，第 6 項為常數(shù)項． (1)求 n； (2)求含 x2的項的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項． [審題視點 ] 準確記住二項展開式的通項公式是解此類題的關鍵． 解 通項公式為 Tr＋ 1＝ Crnxn－ r3 (－ 3)rx－ r3＝ (－ 3)rCrnxn－ 2r3 . (1)∵ 第 6 項為常數(shù)項， ∴ r＝ 5 時，有 n－ 2r3 ＝ 0，解得 n＝ 10. (2)令 n－ 2r3 ＝ 2，得 r＝ 12(n－ 6)＝ 2， ∴ x2的項的系數(shù) 為 C210(－ 3)2＝ 405. (3)由題意知????? 10－ 2r3 ∈ Z，0≤ r≤ 10，r∈ Z.令 10－ 2r3 ＝ k(k∈ Z)，則 10－ 2r＝ 3k，即 r＝ 5－ 32k，∵ r∈ Z， ∴ k 應為偶數(shù)， ∴ k＝ 2,0，－ 2，即 r＝ 2,5,8.∴ 第 3 項，第 6 項，第 9 項為有理項，它們分別為 405x2，－ 61 236,295 245x－ 2. 求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求 (求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等 )，解出項數(shù) k＋ 1，代回通項公式即可． 【訓練 1】 (2020廣州模擬 )已知集合 A＝ {1,2,3,4}， B＝ {5,6,7}， C＝ {8,9}．現(xiàn)在從這三個集合中取出兩個集合，再從這兩個集合中各取出一個元素，組成一個含有兩個元素的集合，則一共可以組成多少個集合 ( )． A． 24 個 B． 36 個 C． 26 個 D． 27 個 解析 C14C13＋ C14C12＋ C13C12＝ 26，故選 C. 答案 C 3． (2020湖南 )在某種信息傳輸過程中，用 4 個數(shù)字的一個排列 (數(shù)字允許重復 )表示一個信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有 0 和 1，則與信息 0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為 ( )． A． 10 B． 11 C． 12 D． 15 解析 若 4 個位置的數(shù)字都不同的信息個數(shù)為 1；若恰有 3 個位置的數(shù)字不同的信息個數(shù)為 C34；若恰有 2 個位置上的數(shù)字不同的信息個數(shù)為 C24，由分類計數(shù)原理知滿足條件的信息個數(shù)為 1＋ C34＋ C24＝ 11. 答案 B 5．某電子元件是由 3 個電阻組成的回路，其中有 4 個焊點 A、 B、 C、 D，若某個焊點脫落，整個電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那 么焊點脫落的可能情況共有 ________種． 解析 法一 當線路不通時焊點脫落的可能情況共有