【正文】 第 3 講 二項式定理 【高考會這樣考】 1．能用計數(shù)原理證明二項式定理． 2．會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題． 【復習指導】 二項式定理的核心是其展開式的通項公式，復習時要熟練掌握這個公式，注意二項式定理在解決有關組合數(shù)問題中的應用． 基礎梳理 1．二項式定理 (a＋ b)n＝ C0nan＋ C1nan－ 1b＋ ? ＋ Crnan－ rbr＋ ? ＋ Cnnbn(n∈ N*)這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫 (a＋ b)n的 二項展開式． 其中的系數(shù) Crn(r＝ 0,1， ? ， n)叫 二項式 系數(shù)． 式中的 Crnan－ rbr叫二項展開式的 通項 ，用 Tr＋ 1表示，即通項 Tr＋ 1＝ Crnan－ rbr. 2． 二項展開式形式上的特點 (1)項數(shù)為 n＋ 1. (2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù) n，即 a 與 b 的指數(shù)的和為 n. (3)字母 a 按 降冪 排列，從第一項開始，次數(shù)由 n 逐項減 1 直到零；字母 b 按 升冪 排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增 1 直到 n. (4)二項式的系數(shù)從 C0n， C1n，一直到 Cn－ 1n ， Cnn. 3． 二項式系數(shù)的性質 (1)對稱性：與首末兩端 “ 等距離 ” 的兩個二項式系數(shù) 相等． 即 Crn＝ Cn－ rn . (2)增減性與最大值： 二項式系數(shù) Ckn，當 k＜ n＋ 12 時，二項 式系數(shù)逐漸 增大． 由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的； 當 n 是偶數(shù)時，中間一項 Cn2n取得最大值； 當 n 是奇數(shù)時，中間兩項 Cn－ 12 n， Cn＋ 12 n取得最大值． (3)各二項式系數(shù)和： C0n＋ C1n＋ C2n＋ ? ＋ Crn＋ ? ＋ Cnn＝ 2n； C0n＋ C2n＋ C4n＋ ? ＝ C1n＋ C3n＋ C5n＋ ? ＝ 2n－ 1. 一個防范 運用二項式定理一定要牢記通項 Tr＋ 1＝ Crnan－ rbr，注意 (a＋ b)n與 (b＋ a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的 (字母 )系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指 Crn，而后者是字母外的部分．前者只與 n和 r有關，恒為正，后者還與 a， b有關，可正可負． 一個定理 二項式定理可利用數(shù)學歸納法證明，也可根據(jù)次數(shù)，項數(shù)和系數(shù)利用排列組合的知識推導二項式定理．因此二項式定理是排列組合知識的發(fā)展和延續(xù)． 兩種應用 (1)通項的應用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數(shù)等． (2)展開式的應用：利用展開式 ① 可證明與二項式系數(shù)有關的等式； ② 可證明不等式； ③ 可證明整除問題； ④ 可做近似計算等． 三條性質 (1)對稱性； (2)增減性； (3)各項二項式系數(shù)的和； 以上性質可通過觀察楊輝三角進行歸納總結． 雙基自測 1． (2020福建 )(1＋ 2x)5的展開式中， x2的系數(shù)等于 ( )． A． 80 B． 40 C． 20 D． 10 解析 Tr＋ 1＝ Cr5(2x)r＝ 2rCr5xr， 當 r＝ 2 時， T3＝ 40x2. 答案 B 2．若 (1＋ 2)5＝ a＋ b 2(a， b 為有理數(shù) )，則 a＋ b＝ ( )． A． 45 B． 55 C． 70 D． 80 解析 (1＋ 2)5＝ 1＋ 5 2＋ 10( 2)2＋ 10( 2)3＋ 5( 2)4＋ ( 2)5＝ 41＋ 29 2 由已知條件 a＝ 41， b＝ 29，則 a＋ b＝ 70. 答案 C 3． (人教 A 版教材習題改編 )若 (x－ 1)4＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ a3x3＋ a4x4，則 a0＋ a2＋a4的值為 ( )． A． 9 B． 8 C． 7 D． 6 解析 令 x＝ 1，則 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 0 令 x＝－ 1，則 a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4＝ 16 ∴ a0＋ a2＋ a4＝ 8. 答案 B 4． (2020重慶 )(1＋ 3x)n(其中 n∈ N且 n≥ 6)的展開式中 x5與 x6的系數(shù)相等，則 n＝ ( )． A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 解析 Tr＋ 1＝ Crn(3x)r＝ 3rCrnxr 由已知條件 35C5n＝ 36C6n 即 C5n＝ 3C6n n！5！ ?n－ 5?！ ＝ 3n！6！ ?n－ 6?！ 整理得 n＝ 7 答案 B 5． (2020安徽 )設 (x－ 1)21＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ ? ＋ a21x21，則 a10＋ a11＝ ________. 解析 Tr＋ 1＝ Cr21x21－ r(－ 1)r＝ (－ 1)rCr21x21－ r 由題意知 a10， a11分別是含 x10和 x11項的系數(shù)，所以 a10＝－ C1121， a11＝ C1021， ∴ a10＋ a11＝ C1021－ C1121＝ 0. 答案 0 考向一 二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù) 【例 1】 ?已知在????????3 x－ 33 xn的展開式中，第 6 項為常數(shù)項． (1)求 n； (2)求含 x2的項的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項． [審題視點 ] 準確記住二項展開式的通項公式是解此類題的關鍵． 解 通項公式為 Tr＋ 1＝ Crnxn－ r3 (－ 3)rx－ r3＝ (－ 3)rCrnxn－ 2r3 . (1)∵ 第 6 項為常數(shù)項， ∴ r＝ 5 時，有 n－ 2r3 ＝ 0，解得 n＝ 10. (2)令 n－ 2r3 ＝ 2，得 r＝ 12(n－ 6)＝ 2， ∴ x2的項的系數(shù) 為 C210(－ 3)2＝ 405. (3)由題意知????? 10－ 2r3 ∈ Z，0≤ r≤ 10，r∈ Z.令 10－ 2r3 ＝ k(k∈ Z)，則 10－ 2r＝ 3k，即 r＝ 5－ 32k，∵ r∈ Z， ∴ k 應為偶數(shù)， ∴ k＝ 2,0，－ 2，即 r＝ 2,5,8.∴ 第 3 項，第 6 項，第 9 項為有理項，它們分別為 405x2，－ 61 236,295 245x－ 2. 求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求 (求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等 )，解出項數(shù) k＋ 1，代回通項公式即可． 【訓練 1】 (2020山東 )若 ??? ???x－ ax2 6 展開式的常數(shù)項為 60，則常數(shù) a 的值為________． 解析 二項式 ??? ???x－ ax2 6 展開式的通項公式是 Tr＋ 1＝ Cr6x6－ r(－ a)rx－ 2r＝ Cr6x6－ 3r(－a)r，當 r＝ 2 時， Tr＋ 1為常數(shù)項，即常數(shù)項是 C26a，根據(jù)已知 C26a＝ 60，解得 a＝ 4. 答案 4 考向二 二項式定理中的賦值 【例 2】 ?二項式 (2x－ 3y)9的展開式中，求： (1)二項式系數(shù)之和； (2)各項系數(shù)之和； (3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和． [審題視點 ] 此類問題要仔細觀察，對二項式中 的變量正確賦值． 解 設 (2x－ 3y)9＝ a0x9＋ a1x8y＋ a2x7y2＋ ? ＋ a9y9. (1)二項式系數(shù)之和為 C09＋ C19＋ C29＋ ? ＋ C99＝ 29. (2)各項系數(shù)之和為 a0＋ a1＋ a2＋ ? ＋ a9＝ (2－ 3)9＝－ 1 (3)由 (2)知 a0＋ a1＋ a2＋ ? ＋ a9＝－ 1， 令 x＝ 1， y＝－ 1，得 a0－ a1＋ a2－ ? － a9＝ 59， 將兩式相加，得 a0＋ a2＋ a4＋ a6＋ a8＝ 59－ 12 ，即為所有奇數(shù) 項系數(shù)之和． 二項式定理給出的是一個恒等式，對 a， b賦予一些特定的值，是解決二項式問題的一種重要思想方法．賦值法是從函數(shù)的角度來應用二項式定理，即函數(shù) f(a， b)＝ (a＋ b)n＝ C0nan＋ C1nan－ 1b＋ ? ＋ Crnan－ rbr＋ ? ＋ a， b 賦予一定的值，就能得到一個等式．