【正文】 2 2 2 2－ 1＝ 15(種 )． 法二 恰有 i 個焊點脫落的可能情況為 Ci4(i＝ 1,2,3,4)種，由分類計數原理，當電路不通時焊點脫落的可能情況共 C14＋ C24＋ C34＋ C44＝ 15(種 )． 答案 15 考向一 分 類加法計數原理 【例 1】 ?(2020福建 )(1＋ 2x)5的展開式中， x2的系數等于 ( )． A． 80 B． 40 C． 20 D． 10 解析 Tr＋ 1＝ Cr5(2x)r＝ 2rCr5xr， 當 r＝ 2 時， T3＝ 40x2. 答案 B 2．若 (1＋ 2)5＝ a＋ b 2(a， b 為有理數 )，則 a＋ b＝ ( )． A． 45 B． 55 C． 70 D． 80 解析 (1＋ 2)5＝ 1＋ 5 2＋ 10( 2)2＋ 10( 2)3＋ 5( 2)4＋ ( 2)5＝ 41＋ 29 2 由已知條件 a＝ 41， b＝ 29，則 a＋ b＝ 70. 答案 C 3． (人教 A 版教材習題改編 )若 (x－ 1)4＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ a3x3＋ a4x4，則 a0＋ a2＋a4的值為 ( )． A． 9 B． 8 C． 7 D． 6 解析 令 x＝ 1，則 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 0 令 x＝－ 1，則 a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4＝ 16 ∴ a0＋ a2＋ a4＝ 8. 答案 B 4． (2020湖北 )給 n 個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當 n≤ 4 時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當 n＝ 6 時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 __________種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 ________種． (結果用 數值表示 ) [嘗試解答 ] (1)當 n＝ 6 時，如果沒有黑色正方形有 1 種方案，當有 1 個黑色正方形時，有 6 種方案，當有兩個黑色正方形時，采用插空法，即兩個黑色正方形插入四個白色正方形形成的 5 個空內，有 C25＝ 10 種方案，當有三個黑色正方形時，同上方法有 C34＝ 4 種方案，由圖可知不可能有 4 個， 5 個， 6 個黑色正方形，綜上可知共有 21 種方案． (2)將 6 個正方形空格涂有黑白兩種顏色，每個空格都有兩種方案，由分步計數原理一共有 26種方案，本問所求事件為 (1)的對立事件 ，故至少有兩個黑色正方形相鄰的方案有 26－ 21＝ 43(種 )． 答案 21 43 第 2 講 排列與組合 【高考會這樣考】 1．考查排列組合的概念及其公式的推導． 2．考查排列組合的應用． 【復習指導】 復習時要掌握好基本計算公式和基本解題指導思想，掌握一些排列組合的基本模式題的解決方法，如指標分配問題、均勻分組問題、雙重元素問題、涂色問題、相鄰或不相鄰問題等． 基礎梳理 1．排列 (1)排列的概念：從 n 個 不同 元素中，任取 m(m≤ n)個元素 (這里的被取 元素各不相同 )按照一定的 順序 排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列． (2)排列數的定義：從 n 個不同元素中，任取 m(m≤ n)個元素的所有排列的個數叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的排列數，用符號 Amn表示． (3)排列數公式 Amn＝ n(n－ 1)(n－ 2)? (n－ m＋ 1)． (4)全排列數公式 Ann＝ n(n－ 1)(n－ 2)? 2C 14(－ 1)＋ C132，得 a0＋ a2＋ a4＋ a6＝ － 1＋ 372 ＝ 1 093. (4)∵ (1－ 2x)7展開式中， a0， a2， a4， a6大于零，而 a1， a3， a5， a7小于零， ∴ |a0|＋ |a1|＋ |a2|＋ ? ＋ |a7|＝ (a0＋ a2＋ a4＋ a6)－ (a1＋ a3＋ a5＋ a7)＝ 1 093－ (－ 1 094)＝ 2 187. 考向三 二項式的和與積 【例 3】 ?(1＋ 2x)3(1－ x)4展開式中 x 項的系數為 ________． [審題視點 ] 求多個二項式積的某項系數，要會轉化成二項式定理的形式． 解析 (1＋ 2x)3(1－ x)4展開式中的 x 項的系數為兩個因式相乘而得到，即第一個因式的常數項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數項，它為 C03(2x)0A 33＝ 18 種排法，所以共有方案 24＋ 18＝ 42(種 )，故選 B. 答案 B 1 2 3 3 1 2 2 3 1 ，將 1,2,3 填入 3 3 的方格中，要求每行、每列都沒有重復數字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有 ( )． A． 6 種 B． 12 種 C． 24 種 D． 48 種 解析 只需要填寫第一行第一列，其余即確定了．因此共有 A33A22＝ 12(種 )． 答案 B 5．某工程隊有 6 項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，又工程丁必須在 工程丙完成后立即進行，那么安排這 6 項工程的不同排法種數是 ________(用數字作答 )． 解析 可將 6 項工程分別用甲、乙、丙、丁、 a、 b 表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相鄰丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、 a、 b 五個元素的排列，可先排 a、 b，再排甲、乙、丙丁共 A25C33＝ 20 種排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排 a、 b，共 C35A22＝ 20 種排法． 答案 20 考向一 排列問題 【例 1】 ?六個人按下列要求站成一排，分別有多少種不同的站法？ (1)甲不站在兩端； (2)甲、乙必須相鄰； (3)甲、乙不相鄰； (4)甲、乙之間恰有兩人； (5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人順序已定． [審題視點 ] 根據題目具體要求，選擇恰當的方法，如捆綁法、插空法等． 解 (1)A25A44＝ 480； (2)A22A55＝ 240； (3)A44A25＝ 480； (4)A22A24A33＝ 144； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36＝ 120. 有條件的排列問題大致分四種類型． (1)某元素不在某個位置上問題， ① 可從位置考慮用其它元素占上該位置， ② 可考慮該元素的去向 (要注意是否是全排列問題 )； ③ 可間接計算即從排列總數中減去不符合條件的排列個數． (2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個元素 (即捆綁法 )然后與其它元素排列． (3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進行插空 (即插空法 )． (4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個位置，先排上剩余的其它元素，這個元素也就一種排法． 【訓練 1】 用 0,1,2,3,4,5 六個數字排成沒有重復數字的 6 位數，分別有多少個？(1)0 不在個位； (2)1 與 2 相鄰； (3)1 與 2 不相鄰； (4)0 與 1 之間恰有兩個數； (5)1不在個位； (6)偶數數字從左向右從小到大排列． 解 (1)A25A44＝ 480； (2)A22A14A44＝ 192； (3)A15A55－ A22A14A44＝ 408， (4)A24A12A22＋ A24A33＝ 120； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36－ A35＝ 60. 考向二 組合問題 【例 2】 ?某醫(yī)院有內科醫(yī)生 12 名，外科醫(yī)生 8 名，現選派 5 名參加賑災醫(yī)療隊，其中 (1)某 內科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ (4)隊中至少有一名內科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ [審題視點 ] “ 無序問題 ” 用組合，注意分類處理． 解 (1)只需從其他 18 人中選 3 人即可，共有 C318＝ 816(種 )； (2)只需從其他 18 人中選 5 人即可，共有 C518＝ 8 568(種 )； (3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有 C12C41