【正文】 2 2 2 2－ 1＝ 15(種 )． 法二 恰有 i 個焊點脫落的可能情況為 Ci4(i＝ 1,2,3,4)種，由分類計數(shù)原理，當電路不通時焊點脫落的可能情況共 C14＋ C24＋ C34＋ C44＝ 15(種 )． 答案 15 考向一 分 類加法計數(shù)原理 【例 1】 ?(2020福建 )(1＋ 2x)5的展開式中， x2的系數(shù)等于 ( )． A． 80 B． 40 C． 20 D． 10 解析 Tr＋ 1＝ Cr5(2x)r＝ 2rCr5xr， 當 r＝ 2 時， T3＝ 40x2. 答案 B 2．若 (1＋ 2)5＝ a＋ b 2(a， b 為有理數(shù) )，則 a＋ b＝ ( )． A． 45 B． 55 C． 70 D． 80 解析 (1＋ 2)5＝ 1＋ 5 2＋ 10( 2)2＋ 10( 2)3＋ 5( 2)4＋ ( 2)5＝ 41＋ 29 2 由已知條件 a＝ 41， b＝ 29，則 a＋ b＝ 70. 答案 C 3． (人教 A 版教材習題改編 )若 (x－ 1)4＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋ a3x3＋ a4x4，則 a0＋ a2＋a4的值為 ( )． A． 9 B． 8 C． 7 D． 6 解析 令 x＝ 1，則 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 0 令 x＝－ 1，則 a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4＝ 16 ∴ a0＋ a2＋ a4＝ 8. 答案 B 4． (2020湖北 )給 n 個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當 n≤ 4 時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當 n＝ 6 時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 __________種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 ________種． (結(jié)果用 數(shù)值表示 ) [嘗試解答 ] (1)當 n＝ 6 時，如果沒有黑色正方形有 1 種方案，當有 1 個黑色正方形時，有 6 種方案，當有兩個黑色正方形時，采用插空法，即兩個黑色正方形插入四個白色正方形形成的 5 個空內(nèi)，有 C25＝ 10 種方案，當有三個黑色正方形時，同上方法有 C34＝ 4 種方案，由圖可知不可能有 4 個， 5 個， 6 個黑色正方形，綜上可知共有 21 種方案． (2)將 6 個正方形空格涂有黑白兩種顏色，每個空格都有兩種方案，由分步計數(shù)原理一共有 26種方案，本問所求事件為 (1)的對立事件 ，故至少有兩個黑色正方形相鄰的方案有 26－ 21＝ 43(種 )． 答案 21 43 第 2 講 排列與組合 【高考會這樣考】 1．考查排列組合的概念及其公式的推導． 2．考查排列組合的應(yīng)用． 【復習指導】 復習時要掌握好基本計算公式和基本解題指導思想，掌握一些排列組合的基本模式題的解決方法，如指標分配問題、均勻分組問題、雙重元素問題、涂色問題、相鄰或不相鄰問題等． 基礎(chǔ)梳理 1．排列 (1)排列的概念：從 n 個 不同 元素中，任取 m(m≤ n)個元素 (這里的被取 元素各不相同 )按照一定的 順序 排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列． (2)排列數(shù)的定義：從 n 個不同元素中，任取 m(m≤ n)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的排列數(shù)，用符號 Amn表示． (3)排列數(shù)公式 Amn＝ n(n－ 1)(n－ 2)? (n－ m＋ 1)． (4)全排列數(shù)公式 Ann＝ n(n－ 1)(n－ 2)? 2C 14(－ 1)＋ C132，得 a0＋ a2＋ a4＋ a6＝ － 1＋ 372 ＝ 1 093. (4)∵ (1－ 2x)7展開式中， a0， a2， a4， a6大于零，而 a1， a3， a5， a7小于零， ∴ |a0|＋ |a1|＋ |a2|＋ ? ＋ |a7|＝ (a0＋ a2＋ a4＋ a6)－ (a1＋ a3＋ a5＋ a7)＝ 1 093－ (－ 1 094)＝ 2 187. 考向三 二項式的和與積 【例 3】 ?(1＋ 2x)3(1－ x)4展開式中 x 項的系數(shù)為 ________． [審題視點 ] 求多個二項式積的某項系數(shù)，要會轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式． 解析 (1＋ 2x)3(1－ x)4展開式中的 x 項的系數(shù)為兩個因式相乘而得到，即第一個因式的常數(shù)項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數(shù)項，它為 C03(2x)0A 33＝ 18 種排法，所以共有方案 24＋ 18＝ 42(種 )，故選 B. 答案 B 1 2 3 3 1 2 2 3 1 ，將 1,2,3 填入 3 3 的方格中，要求每行、每列都沒有重復數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有 ( )． A． 6 種 B． 12 種 C． 24 種 D． 48 種 解析 只需要填寫第一行第一列，其余即確定了．因此共有 A33A22＝ 12(種 )． 答案 B 5．某工程隊有 6 項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，又工程丁必須在 工程丙完成后立即進行，那么安排這 6 項工程的不同排法種數(shù)是 ________(用數(shù)字作答 )． 解析 可將 6 項工程分別用甲、乙、丙、丁、 a、 b 表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相鄰丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、 a、 b 五個元素的排列，可先排 a、 b，再排甲、乙、丙丁共 A25C33＝ 20 種排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排 a、 b，共 C35A22＝ 20 種排法． 答案 20 考向一 排列問題 【例 1】 ?六個人按下列要求站成一排，分別有多少種不同的站法？ (1)甲不站在兩端； (2)甲、乙必須相鄰； (3)甲、乙不相鄰； (4)甲、乙之間恰有兩人； (5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人順序已定． [審題視點 ] 根據(jù)題目具體要求，選擇恰當?shù)姆椒ǎ缋壏?、插空法等? 解 (1)A25A44＝ 480； (2)A22A55＝ 240； (3)A44A25＝ 480； (4)A22A24A33＝ 144； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36＝ 120. 有條件的排列問題大致分四種類型． (1)某元素不在某個位置上問題， ① 可從位置考慮用其它元素占上該位置， ② 可考慮該元素的去向 (要注意是否是全排列問題 )； ③ 可間接計算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個數(shù)． (2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個元素 (即捆綁法 )然后與其它元素排列． (3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進行插空 (即插空法 )． (4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個位置，先排上剩余的其它元素，這個元素也就一種排法． 【訓練 1】 用 0,1,2,3,4,5 六個數(shù)字排成沒有重復數(shù)字的 6 位數(shù)，分別有多少個？(1)0 不在個位； (2)1 與 2 相鄰； (3)1 與 2 不相鄰； (4)0 與 1 之間恰有兩個數(shù)； (5)1不在個位； (6)偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列． 解 (1)A25A44＝ 480； (2)A22A14A44＝ 192； (3)A15A55－ A22A14A44＝ 408， (4)A24A12A22＋ A24A33＝ 120； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36－ A35＝ 60. 考向二 組合問題 【例 2】 ?某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生 12 名，外科醫(yī)生 8 名，現(xiàn)選派 5 名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，其中 (1)某 內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ (4)隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ [審題視點 ] “ 無序問題 ” 用組合，注意分類處理． 解 (1)只需從其他 18 人中選 3 人即可，共有 C318＝ 816(種 )； (2)只需從其他 18 人中選 5 人即可，共有 C518＝ 8 568(種 )； (3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有 C12C41