【正文】 A 33＝ 18 種排法，所以共有方案 24＋ 18＝ 42(種 )，故選 B. 答案 B 1 2 3 3 1 2 2 3 1 ，將 1,2,3 填入 3 3 的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有 ( )． A． 6 種 B． 12 種 C． 24 種 D． 48 種 解析 只需要填寫第一行第一列，其余即確定了．因此共有 A33A22＝ 12(種 )． 答案 B 5．某工程隊(duì)有 6 項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，又工程丁必須在 工程丙完成后立即進(jìn)行，那么安排這 6 項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是 ________(用數(shù)字作答 )． 解析 可將 6 項(xiàng)工程分別用甲、乙、丙、丁、 a、 b 表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相鄰丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、 a、 b 五個(gè)元素的排列，可先排 a、 b，再排甲、乙、丙丁共 A25C33＝ 20 種排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排 a、 b，共 C35A22＝ 20 種排法． 答案 20 考向一 排列問題 【例 1】 ?六個(gè)人按下列要求站成一排，分別有多少種不同的站法？ (1)甲不站在兩端； (2)甲、乙必須相鄰； (3)甲、乙不相鄰； (4)甲、乙之間恰有兩人； (5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人順序已定． [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)題目具體要求，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，如捆綁法、插空法等? 解 (1)A25A44＝ 480； (2)A22A55＝ 240； (3)A44A25＝ 480； (4)A22A24A33＝ 144； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36＝ 120. 有條件的排列問題大致分四種類型． (1)某元素不在某個(gè)位置上問題， ① 可從位置考慮用其它元素占上該位置， ② 可考慮該元素的去向 (要注意是否是全排列問題 )； ③ 可間接計(jì)算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個(gè)數(shù)． (2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個(gè)元素 (即捆綁法 )然后與其它元素排列． (3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進(jìn)行插空 (即插空法 )． (4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個(gè)位置，先排上剩余的其它元素，這個(gè)元素也就一種排法． 【訓(xùn)練 1】 用 0,1,2,3,4,5 六個(gè)數(shù)字排成沒有重復(fù)數(shù)字的 6 位數(shù)，分別有多少個(gè)？(1)0 不在個(gè)位； (2)1 與 2 相鄰； (3)1 與 2 不相鄰； (4)0 與 1 之間恰有兩個(gè)數(shù)； (5)1不在個(gè)位； (6)偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列． 解 (1)A25A44＝ 480； (2)A22A14A44＝ 192； (3)A15A55－ A22A14A44＝ 408， (4)A24A12A22＋ A24A33＝ 120； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36－ A35＝ 60. 考向二 組合問題 【例 2】 ?某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生 12 名，外科醫(yī)生 8 名，現(xiàn)選派 5 名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中 (1)某 內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ (4)隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ [審題視點(diǎn) ] “ 無序問題 ” 用組合，注意分類處理． 解 (1)只需從其他 18 人中選 3 人即可，共有 C318＝ 816(種 )； (2)只需從其他 18 人中選 5 人即可，共有 C518＝ 8 568(種 )； (3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有 C12C418＋ C318＝ 6 936(種 )； (4)法一 (直接法 )：至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有 C112C48＋ C212C38＋ C312C28＋ C412C18＝14 656(種 )． 法二 (間接法 )：由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得 C520－ (C512＋ C58)＝ 14 656(種 )． 對于有條件的組合問題，可能遇到含某個(gè) (些 )元素與不含某個(gè) (些 )元素問題；也可能遇到 “ 至多 ” 或 “ 至少 ” 等組合問題的計(jì)算，此類問題要注意分類處理或間接計(jì)算，切記不要因?yàn)?“ 先取再后取 ” 產(chǎn)生順序造成計(jì)算錯(cuò)誤． 【訓(xùn)練 2】 甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門， (1)甲、乙所選的課程中恰有1 門相同的選法有多少種？ (2)甲、乙所選的課程中至少有一門不相同的選法有多少種？ 解 (1)甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，且甲、乙所選課程中恰有 1 門相同的選法種數(shù)共有 C24C12C12＝ 24(種 )． (2)甲、乙兩人從 4 門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為 C24C24，又甲乙兩人所選的兩門課程都相 同的選法種數(shù)為 C24種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為 C24C24－C24＝ 30(種 )． 考向三 排列、組合的綜合應(yīng)用 【例 3】 ?(1)7 個(gè)相同的小球，任意放入 4 個(gè)不同的盒子中，試問：每個(gè)盒子都不空的放法共有多少種？ (2)計(jì)算 x＋ y＋ z＝ 6 的正整數(shù)解有多少組； (3)計(jì)算 x＋ y＋ z＝ 6 的非負(fù)整數(shù)解有多少組． [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)題目要求分類求解，做到不重不漏． 解 (1)法一 先將其中 4 個(gè)相同的小球 放入 4 個(gè)盒子中，有 1 種放法；再將其余 3 個(gè)相同的小球放入 4 個(gè)不同的盒子中，有以下 3 種情況： ① 某一個(gè)盒子放 3個(gè)小球，就可從這 4個(gè)不同的盒子中任選一個(gè)放入這 3個(gè)小球，有 C14種不同的放法； ② 這 3 個(gè)小球分別放入其中的 3 個(gè)盒子中，就相當(dāng)于從 4 個(gè)不同的盒子中任選 3個(gè)盒子，分別放入這 3 個(gè)相同的小球，有 C34種不同放法； ③ 這 3 個(gè)小球中有兩個(gè)小球放在 1 個(gè)盒子中，另 1 個(gè)小球放在另一個(gè)盒子中，從這 4 個(gè)不同的盒子中任選兩個(gè)盒子排成一列，有 A24種不同的方法． 綜上可知，滿足題設(shè)條件的放法為 C14＋ C34＋ A24＝ 20(種 )． 法二 “ 每個(gè)盒子都不空 ” 的含義是 “ 每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球 ” ，若用 “ 擋板法 ” ，可易得 C36＝ 20. (2)可看做將 6 個(gè)相同小球放入三個(gè)不同盒子中，每盒非空有多少種放法．轉(zhuǎn)化為 6 個(gè) 0,2 個(gè) 1 的排列，要求 1 不排在兩端且不相鄰，共有 C25＝ 10 種排法，因此方程 x＋ y＋ z＝ 6 有 10 組不同的正整 數(shù)解； (3)可看做將 6 個(gè)相同小球放入三個(gè)不同的盒子中，轉(zhuǎn)化為 6 個(gè) 0,2 個(gè) 1 的排列，共有 C28＝ 28 種排法，因此方程 x＋ y＋ z＝ 6 有 28 組不同的非負(fù)整數(shù)解． 排列與組合的根本區(qū)別在于是 “ 有序 ” 還是 “ 無序 ” ，對于將若干個(gè)相同小球放入幾個(gè)不同的盒子中，此類問題可利用 “ 擋板法 ” 求解，實(shí)質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問題． (2)在計(jì)算排列組合問題時(shí)，可能會遇到 “ 分組 ” 問題，要特別注意是平均分組還是不平均分組．可從排列與組合的關(guān)系出發(fā)，用類 比的方法去理解分組問題，比如將 4個(gè)元素分為兩組，若一組一個(gè)、一組三個(gè)共有 C14C33種不同的分法； 而平均分為兩組則有 C24C22A22 種不同的分法． 【訓(xùn)練 3】 有 6 本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？ (1)分成 1 本、 2 本、 3 本三組； (2)分給甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； (3)分成每組都是 2 本的三組； (4)分給甲、乙、丙三人，每人 2 本． 解 (1)分三步：先選一本有 C16種選法；再從余下的 5 本中選 2 本有 C25種選法；對于余下的三本全選有 C33種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知有 C16C25C33＝ 60種選法． (2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在 (1)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配的問題，因此共有 C16C25C33A33＝ 360 種選法． (3)先分三步，則應(yīng)是 C26C24C22種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記 6 本書為分別