計(jì)數(shù)原理復(fù)習(xí)資料(文件)
【正文】 當(dāng) S、 A、 B 染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為 3，若 C 染 2，則 D 可染 3 或 4或 5，有 3 種染法；若 C 染 4，則 D 可染 3 或 5，有 2 種染法，若 C 染 5，則 D可染 3 或 4，有 2 種染法．可見，當(dāng) S、 A、 B 已染好時(shí)， C、 D 還有 7 種染法，故不同的染色方法有 60 7＝ 420(種 )． 法二 以 S、 A、 B、 C、 D 順序分步染色 第一步， S 點(diǎn)染色，有 5 種方法； 第二步， A點(diǎn)染色，與 S 在同一條棱上，有 4 種方法； 第三步， B 點(diǎn)染色，與 S、 A分別在同一條棱上，有 3 種方法； 第四步， C 點(diǎn)染色，也有 3 種方法，但考慮到 D 點(diǎn)與 S、 A、 C 相鄰，需要針對(duì)A 與 C 是否同色進(jìn)行分類，當(dāng) A 與 C 同色時(shí)， D 點(diǎn)有 3 種染色方法；當(dāng) A 與 C不同色時(shí)，因?yàn)?C 與 S、 B 也不同色，所以 C 點(diǎn)有 2 種染色方法， D 點(diǎn)也有 2 種染色方法．由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的 染色方法共有5 4 3 (1 3＋ 2 2)＝ 420(種 )． 法三 按所用顏色種數(shù)分類 第一類， 5 種顏色全用，共有 A55種不同的方法； 第二類，只用 4 種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色 (A與 C，或 B 與 D)，共有 2 A45種不同的方法； 第三類，只用 3 種顏色，則 A與 C、 B 與 D 必定同色，共有 A35種不同的方法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為 A 55＋ 2 A 45＋ A 35＝420( 種 ) ． 規(guī)范解答 20—— 如何解決涂色問題 【問題研究】 涂色問題是由兩個(gè)基本原理和排列組合知識(shí)的綜合運(yùn)用所產(chǎn)生的一類問題，這類問題是計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的典型問題，由于涂色本身就是策略的一個(gè)運(yùn)用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂色問題的趣味性，自然成為新課標(biāo)高考的命題熱點(diǎn) . 【解決方案】 涂色問題的關(guān)鍵是顏色的數(shù)目和在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同一種顏色，具體操作法和按照顏色的數(shù)目進(jìn)行分類法是解決這類 問題的首選方法 . 【 示例 】 ? (本小題滿分 12 分 )用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在 “ 田 ” 字形的 4 個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？ 顏色可以反復(fù)使用，即說明在不相鄰的小方格內(nèi)可以使用同一種顏色，首先確定第一個(gè)小方格的涂法，再考慮其相鄰的兩個(gè)小方格的涂法． 1 2 3 4 [解答示范 ] 如圖所示，將 4 個(gè)小方格依次編號(hào)為 1,2,3,4，第 1 個(gè)小方格可以從 5種顏色中任取一種顏色涂上，有 5 種不同的涂法． (2分 ) ① 當(dāng)?shù)?2 個(gè)、第 3 個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有 A24＝ 12 種不同的涂法，第 4 個(gè)小方格有 3 種不同的涂法．由分步計(jì)數(shù)原理可知，有 5 12 3＝ 180 種不同的涂法；(6分 ) ② 當(dāng)?shù)?2 個(gè)、第 3 個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有 4 種涂法，由于相鄰西格不同色，因此，第 4 個(gè)小方格也有 4 種不同的涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知．有 5 4 4＝80 種不同的涂法． (10分 ) 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有 180＋ 80＝ 260 種不同的涂法． (12分 ) 在涂色問題中一定要看顏色是否可以重復(fù)使用，不允許重復(fù)使用的涂色問題實(shí)際上就是一般的排列問題，當(dāng)顏色允許重復(fù)使用時(shí)，要充分利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析解決問題． 【試一試】 (2020A 33＝ 18 種排法，所以共有方案 24＋ 18＝ 42(種 )，故選 B. 答案 B 1 2 3 3 1 2 2 3 1 ，將 1,2,3 填入 3 3 的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有 ( )． A． 6 種 B． 12 種 C． 24 種 D． 48 種 解析 只需要填寫第一行第一列，其余即確定了．因此共有 A33A22＝ 12(種 )． 答案 B 5．某工程隊(duì)有 6 項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，又工程丁必須在 工程丙完成后立即進(jìn)行，那么安排這 6 項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是 ________(用數(shù)字作答 )． 解析 可將 6 項(xiàng)工程分別用甲、乙、丙、丁、 a、 b 表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相鄰丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、 a、 b 五個(gè)元素的排列，可先排 a、 b，再排甲、乙、丙丁共 A25C33＝ 20 種排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排 a、 b，共 C35A22＝ 20 種排法． 答案 20 考向一 排列問題 【例 1】 ?六個(gè)人按下列要求站成一排，分別有多少種不同的站法？ (1)甲不站在兩端； (2)甲、乙必須相鄰； (3)甲、乙不相鄰； (4)甲、乙之間恰有兩人； (5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人順序已定． [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)題目具體要求，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，如捆綁法、插空法等? 解 (1)A25A44＝ 480； (2)A22A55＝ 240； (3)A44A25＝ 480； (4)A22A24A33＝ 144； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36＝ 120. 有條件的排列問題大致分四種類型． (1)某元素不在某個(gè)位置上問題， ① 可從位置考慮用其它元素占上該位置， ② 可考慮該元素的去向 (要注意是否是全排列問題 )； ③ 可間接計(jì)算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個(gè)數(shù)． (2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個(gè)元素 (即捆綁法 )然后與其它元素排列． (3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進(jìn)行插空 (即插空法 )． (4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個(gè)位置，先排上剩余的其它元素，這個(gè)元素也就一種排法． 【訓(xùn)練 1】 用 0,1,2,3,4,5 六個(gè)數(shù)字排成沒有重復(fù)數(shù)字的 6 位數(shù)，分別有多少個(gè)？(1)0 不在個(gè)位； (2)1 與 2 相鄰； (3)1 與 2 不相鄰； (4)0 與 1 之間恰有兩個(gè)數(shù)； (5)1不在個(gè)位； (6)偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列． 解 (1)A25A44＝ 480； (2)A22A14A44＝ 192； (3)A15A55－ A22A14A44＝ 408， (4)A24A12A22＋ A24A33＝ 120； (5)A66－ 2A55＋ A44＝ 504； (6)A36－ A35＝ 60. 考向二 組合問題 【例 2】 ?某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生 12 名，外科醫(yī)生 8 名，現(xiàn)選派 5 名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中 (1)某 內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ (4)隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ [審題視點(diǎn) ] “ 無序問題 ” 用組合，注意分類處理． 解 (1)只需從其他 18 人中選 3 人即可，共有 C318＝ 816(種 )； (2)只需從其他 18 人中選 5 人即可，共有 C518＝ 8 568(種 )； (3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有 C12C418＋ C318＝ 6 936(種 )； (4)法一 (直接法 )：至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有 C112C48＋ C212C38＋ C312C28＋ C412C18＝14 656(種 )． 法二 (間接法 )：由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得 C520－ (C512＋ C58)＝ 14 656(種 )． 對(duì)于有條件的組合問題，可能遇到含某個(gè) (些 )元素與不含某個(gè) (些 )元素問題；也可能遇到 “ 至多 ” 或 “ 至少 ” 等組合問題的計(jì)算，此類問題要注意分類處理或間接計(jì)算，切記不要因?yàn)?“ 先取再后取 ” 產(chǎn)生順序造成計(jì)算錯(cuò)誤． 【訓(xùn)練 2】 甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門， (1)甲、乙所選的課程中恰有1 門相同的選法有多少種？ (2)甲、乙所選的課程中至少有一門不相同的選法有多少種？ 解 (1)甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，且
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