20xx屆名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟高三上學(xué)期1月模擬信息卷押題卷數(shù)學(xué)(理)(一)試題(解析版)-資料下載頁(yè)
2025-04-05 05:36本頁(yè)面
【正文】 （1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以， 又離心率，所以，由得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）聯(lián)立及得，由，所以．直線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性知，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，且取最小時(shí)，，所以取得最小值時(shí)，直線(xiàn)的方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)直線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為，根據(jù)稱(chēng)性，結(jié)合平行線(xiàn)間距離公式是解題的關(guān)鍵.21．已知函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若，求證：．【答案】（1）在上單凋遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解余弦型不等式即可得到結(jié)果；（2）構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)果.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，所以，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得時(shí)，時(shí)，所以在上單凋遞增，在上單調(diào)遞減．（2），．設(shè)，則，設(shè)，則，所以時(shí)，是增函數(shù)，時(shí)，是減函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，所以，即，即．當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以，即，即．綜上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1) ，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（，為參數(shù)且）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線(xiàn)的普通方程及的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線(xiàn)及僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）消元得的普通方程，由極坐標(biāo)與普通方程的轉(zhuǎn)化求的直角坐標(biāo)方程；（2）利用直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用求出a的取值范圍.【詳解】（1）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，消去參數(shù)得曲線(xiàn)的普通方程為，即，由，，得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，即．（2）結(jié)合題意可知，射線(xiàn)與圓不可能相切，所以曲線(xiàn)及僅有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)射線(xiàn)的端點(diǎn)在圓上或其內(nèi)部，所以，解得．23．已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若，求證：【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為分段函數(shù)，結(jié)合分段條件，分類(lèi)討論，即可求解；（2）由（1）中函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的最大值為1，得到， 再結(jié)合基本不等式求得，即可得證．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，所以等價(jià)于或或，解得，所以不等式的解集為．（2）由，可得時(shí)，取得最大值1，所以， 又由，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．所以．第 18 頁(yè) 共 18
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