20xx高考數(shù)學(xué)文人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：32-第2課時(shí)-利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最大(小)值-資料下載頁(yè)
2025-04-03 03:28本頁(yè)面
【正文】 數(shù)根等價(jià)于exkx=0在(0,2)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.設(shè)h(x)=exkx,則h39。(x)=exk.當(dāng)k≤1時(shí),h39。(x)0,所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,此時(shí)h(x)在(0,2)上不存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.當(dāng)k1時(shí),由h39。(x)0可得xlnk,由h39。(x)0可得xlnk,所以h(x)的最小值為h(lnk)=k(1lnk),所以exkx=0在(0,2)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根需滿(mǎn)足h(0)=10,h(2)=e22k0,h(lnk)=k(1lnk)0,0lnk2,解得eke22.綜上所述,k的取值范圍為e,e22.(方法2)f39。(x)=0在(0,2)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于exkx=0在(0,2)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于k=exx在(0,2)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于y=k與g(x)=exx在(0,2)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).g39。(x)=xexexx2=(x1)exx2,當(dāng)0x1時(shí),g39。(x)0。當(dāng)x1時(shí),g39。(x)0.g(1)=e,g(2)=e22,當(dāng)x→0+時(shí),g(x)→+∞.畫(huà)出g(x)在(0,2)上的圖象(圖略),可知要使y=k與g(x)在(0,2)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),k的取值范圍為e,e22.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4解f(x)=lnx+ax+x(x1),f39。(x)=1lnxax2+1=x2lnxa+1x2,令F(x)=x2lnxa+1,則F39。(x)=2x1x=2x21x,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),F39。(x)0,所以函數(shù)F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又F(1)=2a,故①當(dāng)a≤2時(shí),F(x)0,f39。(x)0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,無(wú)極值。②當(dāng)a2時(shí),F(1)0,F(a)=a2lnaa+1,令G(x)=x2lnxx+1,則G39。(x)=2x1x1=2x2x1x,當(dāng)x2時(shí),G39。(x)0,函數(shù)G(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,G(2)=3ln20,所以在(2,+∞)上,G(x)0恒成立,所以F(a)=a2lnaa+10,所以函數(shù)F(x)在(1,a)上存在唯一零點(diǎn)x=x0,所以f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)f(x)存在極小值.綜上,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上有極值,則a2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+∞).例5解(1)設(shè)AA1,BB1,CD1,EF1都與MN垂直,A1,B1,D1,F1是相應(yīng)垂足.由條件知,當(dāng)O39。B=40時(shí),BB1=1800403+640=160,則AA1=160.由140O39。A2=160,得O39。A=80.所以AB=O39。A+O39。B=80+40=120(米).(2)以O(shè)為原點(diǎn),MN為x軸,OO39。為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示).設(shè)F(x,y2),x∈(0,40),則y2=1800x3+6x,EF=160y2=160+1800x36x.因?yàn)镃E=80,所以O(shè)39。C=80x.設(shè)D(x80,y1),則y1=140(80x)2,所以CD=160y1=160140(80x)2=140x2+4x.記橋墩CD和EF的總造價(jià)為f(x),則f(x)=k160+1800x36x+32k140x2+4x=k1800x3380x2+160(0x40).f39。(x)=k3800x2340x=3k800x(x20),令f39。(x)=0,得x=20.x(0,20)20(20,40)f39。(x)0+f(x)↘極小值↗所以當(dāng)x=20時(shí),f(x)取得最小值.答:(1)橋AB的長(zhǎng)度為120米。(2)當(dāng)O39。E為20米時(shí),橋墩CD和EF的總造價(jià)最低.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練510 設(shè)EF=xcm,則AE=BF=30x2cm,包裝盒的高為GE=22xcm,因?yàn)锳E=AH=30x2cm,A=π2,所以包裝盒的底面邊長(zhǎng)為HE=22(30x)cm,所以包裝盒的體積為V(x)=22(30x)222x=24(x360x2+900x),0x30,則V39。(x)=24(3x2120x+900),令V39。(x)=0,解得x1=10,或x2=30(舍去).當(dāng)x∈(0,10)時(shí),V39。(x)0,函數(shù)V(x)單調(diào)遞增。當(dāng)x∈(10,30)時(shí),V39。(x)0,函數(shù)V(x)單調(diào)遞減,所以V(x)max=V(10)=24(10006000+9000)=10002(cm3),即當(dāng)EF=10cm時(shí),包裝盒容積取得最大值10002cm3.13
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