圓錐曲線解答題專題三：面積問題(解析版)-資料下載頁
2025-04-03 02:57本頁面
【正文】 與的面積之比為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)橢圓方程，由根據(jù)橢圓的離心率公式可求得c，從而求出b，即可寫出橢圓方程；（2）根據(jù)直線的位置關(guān)系分別求出直線DE與直線BN的斜率及方程，聯(lián)立可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得兩三角形面積之比.【詳解】（1）焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，， 橢圓C的方程為；（2）設(shè)，可得，直線AM的方程為：，，直線DE的方程：，直線BN的方程：，直線DE與直線BN的方程聯(lián)立可得 ，整理為：，即，計(jì)算可得，代入直線DE的方程可得，則，又，所以與的面積之比為定值.37．【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再用直線的斜率公式，本題考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查推理論證能力，屬于難題.6.（2021廣西梧州市高三其他模擬（文））已知橢圓：過點(diǎn)，點(diǎn)為其上頂點(diǎn)，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積是定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求橢圓方程；（2）首先設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用四邊形的對(duì)角線表示四邊形的面積，化簡(jiǎn)為定值.【詳解】（1）由題意，設(shè)直線：，令，則，，故橢圓的方程為.（2）設(shè)，且，又，所以直線：，令，則.直線：，令，則.所以四邊形的面積為，所以四邊形的面積為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決定值、定點(diǎn)的方法（1）從特殊入手，求出定值、定點(diǎn)、定線，再證明定值、定點(diǎn)、定線與變量無關(guān)；（2）直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過程中消去變量是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求的方法、整體思想和消元思想的運(yùn)用可以有效的簡(jiǎn)化運(yùn)算.7.（2021湖南永州市高三二模）某城市決定在夾角為的兩條道路?之間建造一個(gè)半橢圓形狀的主題公園，如圖所示，千米，為的中點(diǎn)，為橢圓的長(zhǎng)半軸，在半橢圓形區(qū)域內(nèi)再建造一個(gè)三角形游樂區(qū)域，其中，在橢圓上，且的傾斜角為，交于.（1）若千米，為了不破壞道路，求橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的最大值；（2）若橢圓的離心率為，當(dāng)線段長(zhǎng)為何值時(shí)，游樂區(qū)域的面積最大？【答案】（1）；（2）當(dāng)線段長(zhǎng)為千米，游樂區(qū)域的面積最大.【分析】（1）由題可設(shè)橢圓方程為，可得出直線的方程為，根據(jù)題意可得直線與橢圓至多只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程利用可求出的范圍；（2）由題可得橢圓方程為，設(shè)，將直線的方程代入橢圓，利用韋達(dá)定理表示出三角形面積可求出最值.【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，因?yàn)?，則，又?夾角為，所以直線的方程為.又因?yàn)?，則，則橢圓方程為，為了不破壞道路，則直線與橢圓至多只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，得，由于直線與半橢圓至多只有一個(gè)交點(diǎn)，則，又，得.當(dāng)時(shí)半橢圓形主題公園與道路直線相切，所以.（2）設(shè)橢圓焦距為，由橢圓的離心率，，解得，所以，橢圓的方程為.設(shè)，又傾斜角為，且交于，所以直線的方程為，由得，設(shè)，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積最大.所以當(dāng)線段長(zhǎng)為千米，游樂區(qū)域的面積最大.
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