【正文】 y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C，P，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E點坐標為（，）時，△CBE的面積最大．【解析】試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得P點坐標及對稱軸，可設出M點坐標，表示出MC、MP和PC的長，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關于M點坐標的方程，可求得M點的坐標；（3）過E作EF⊥x軸，交直線BC于點F，交x軸于點D，可設出E點坐標，表示出F點的坐標，表示出EF的長，進一步可表示出△CBE的面積，利用二次函數的性質可求得其取得最大值時E點的坐標．試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐標代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線對稱軸為x=2，P（2，﹣1），設M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM為等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，①當MC=MP時，則有=|t+1|，解得t=，此時M（2，）；②當MC=PC時，則有=2，解得t=﹣1（與P點重合，舍去）或t=7，此時M（2，7）；③當MP=PC時，則有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標為（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如圖，過E作EF⊥x軸，交BC于點F，交x軸于點D，設E（x，x2﹣4x+3），則F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴當x=時，△CBE的面積最大，此時E點坐標為（，），即當E點坐標為（，）時，△CBE的面積最大．考點：二次函數綜合題．14．如圖， 已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側）與y軸交于C點 ．（1）求拋物線的解析式和A、B兩點的坐標；（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN=3時，求M點的坐標 ．【答案】（1），點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(8，0)；（2）存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是16，理由見解析；（3）點M的坐標為(42，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，)．【解析】【分析】（1） 由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數的性質即可求出a值， 進而可得出拋物線的解析式， 再利用二次函數圖象上點的坐標特征， 即可求出點A、B的坐標；（2） 利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標， 由點B、C的坐標， 利用待定系數法即可求出直線BC的解析式， 假設存在， 設點P的坐標為（x,），過點P作PD//y軸， 交直線BC于點D，則點D的坐標為（x,），PD= x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的面積關于x的函數關系式， 再利用二次函數的性質即可解決最值問題；（3） 設點M的坐標為（m,），則點N的坐標為（m,），進而可得出MN，結合MN=3即可得出關于m的含絕對值符號的一元二次方程， 解之即可得出結論 ．【詳解】（1）拋物線的對稱軸是直線，解得：，拋物線的解析式為．當時，解得：，點的坐標為，點的坐標為．（2） 當時，點的坐標為．設直線的解析式為．將、代入，解得：，直線的解析式為．假設存在， 設點的坐標為，過點作軸， 交直線于點，則點的坐標為，如圖所示 ．，．，當時，的面積最大， 最大面積是 16 ．，存在點，使的面積最大， 最大面積是 16 ．（3） 設點的坐標為，則點的坐標為，．又，．當時， 有，解得：，點的坐標為或；當或時， 有，解得：，點的坐標為，或，．綜上所述：點的坐標為，、或，．【點睛】本題考查了二次函數的性質、 二次函數圖象上點的坐標特征、 待定系數法求一次函數解析式以及三角形的面積， 解題的關鍵是： （1） 利用二次函數的性質求出a的值； （2） 根據三角形的面積公式找出關于x的函數關系式； （3） 根據MN的長度， 找出關于m的含絕對值符號的一元二次方程 ．15．復習課中，教師給出關于x的函數（k是實數）.教師：請獨立思考，并把探索發(fā)現的與該函數有關的結論（性質）寫到黑板上.學生思考后，又補充一些結論，并從中選擇如下四條：①存在函數，其圖像經過（1,0）點；②函數圖像與坐標軸總有三個不同的交點；③當時，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小；④若函數有最大值，則最大值必為正數，若函數有最小值，則最小值必為負數；教師：請你分別判斷四條結論的真假，并給出理由，最后簡單寫出解決問題時所用的數學方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的數學方法見解析.【解析】試題分析：根據方程思想，特殊與一般思想，反證思想，分類思想對各結論進行判斷.試題解析：①真，②假，③假，④：①將（1,0）代入，得，解得.∴存在函數，其圖像經過（1,0）點.∴結論①為真.②舉反例如，當時，函數的圖象與坐標軸只有兩個不同的交點.∴結論②為假.③∵當時，二次函數（k是實數）的對稱軸為，∴可舉反例如，當時，二次函數為，當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大.∴結論③為假.④∵當時，二次函數的最值為，∴當時，有最小值，最小值為負；當時，有最大值，最大值為正.∴結論④為真.解決問題時所用的數學方法有方程思想，特殊與一般思想，反證思想，分類思想考點：；；、特殊元素法、反證思想和分類思想的應用.