20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)易錯題專題訓(xùn)練-二次函數(shù)練習(xí)題附詳細(xì)答案-資料下載頁
2025-03-30 22:26本頁面
【正文】 4，）【點睛】本題是對二次函數(shù)的綜合知識考查，熟練掌握二次函數(shù)，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題13．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于兩點，其中,.該拋物線與軸交于點,與軸交于另一點.(1)求的值及該拋物線的解析式。(2)(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側(cè)作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時點的坐標(biāo).(3)、,在線段上是否存在點,使得以為頂點的三角形與△相似,若存在,請直接寫出點的坐標(biāo)。若不存在,請說明理由.【答案】（1）；（2）當(dāng)，即時，最大，此時,所以；（3）存在點坐標(biāo)為或.【解析】分析：（1）把A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式求出b與c的值即可； （2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN為直角，由兩直角邊乘積的一半表示出三角形MPN面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出三角形面積最大時P的坐標(biāo)即可； （3）存在，分兩種情況，根據(jù)相似得比例，求出AQ的長，利用兩點間的距離公式求出Q坐標(biāo)即可．詳解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）． ∵y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A與點B，∴，解得：，則二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+6x﹣5； （2）如圖2，△APM與△DPN都為等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45176。，∴∠MPN=90176。，∴△MPN為直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，設(shè)AP=m，則有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PM?PN=m（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴當(dāng)m=2，即AP=2時，S△MPN最大，此時OP=3，即P（3，0）； （3）存在，易得直線CD解析式為y=x﹣5，設(shè)Q（x，x﹣5），由題意得：∠BAD=∠ADC=45176。，分兩種情況討論：①當(dāng)△ABD∽△DAQ時，=，即=，解得：AQ=，由兩點間的距離公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此時Q（，﹣）； ②當(dāng)△ABD∽△DQA時，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此時Q（2，﹣3）． 綜上，點Q的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（，﹣）．點睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，兩點間的距離公式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖，拋物線的圖象過點.（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標(biāo)及△PAC的周長；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M（不與C點重合），使得？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，點，周長為：；（3）存在，點M坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）由于條件給出拋物線與x軸的交點，故可設(shè)交點式，把點C代入即求得a的值，減小計算量．（2）由于點A、B關(guān)于對稱軸：直線對稱，故有，則，所以當(dāng)C、P、B在同一直線上時，最?。命cA、B、C的坐標(biāo)求AC、CB的長，求直線BC解析式，把代入即求得點P縱坐標(biāo)．（3）由可得，當(dāng)兩三角形以PA為底時，高相等，即點C和點M到直線PA距離相等．又因為M在x軸上方，故有．由點A、P坐標(biāo)求直線AP解析式，即得到直線CM解析式．把直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點M坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點 ∴可設(shè)交點式 把點代入得：∴拋物線解析式為（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得的周長最?。鐖D1，連接PB、BC∵點P在拋物線對稱軸直線上，點A、B關(guān)于對稱軸對稱∵當(dāng)C、P、B在同一直線上時，最小最小設(shè)直線BC解析式為把點B代入得：，解得：∴直線BC：∴點使的周長最小，最小值為．（3）存在滿足條件的點M，使得．∵S△PAM＝S△PAC∴當(dāng)以PA為底時，兩三角形等高∴點C和點M到直線PA距離相等∵M在x軸上方，設(shè)直線AP解析式為 解得：∴直線∴直線CM解析式為：解得：（即點C），∴點M坐標(biāo)為【點睛】考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式，軸對稱的最短路徑問題，勾股定理，平行線間距離處處相等，一元二次方程的解法．其中第（3）題條件給出點M在x軸上方，無需分類討論，解法較常規(guī)而簡單．15．如圖，已知拋物線（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)點P到點A、點B的距離之和最短時，求點P的坐標(biāo)；（3）點M也是直線l上的動點，且△MAC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）P（1，0）；（3）．【解析】試題分析：（1）直接將A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可；（2）由圖知：A．B點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知，直線l與x軸的交點，即為符合條件的P點；（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設(shè)出M點的坐標(biāo)，然后用M點縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．試題解析：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入拋物線中，得：，解得：，故拋物線的解析式：．（2）當(dāng)P點在x軸上，P，A，B三點在一條直線上時，點P到點A、點B的距離之和最短，此時x==1，故P（1，0）；（3）如圖所示：拋物線的對稱軸為：x==1，設(shè)M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），則：=，==，=10；①若MA=MC，則，得：=，解得：m=﹣1；②若MA=AC，則，得：=10，得：m=；③若MC=AC，則，得：=10，得：，；當(dāng)m=﹣6時，M、A、C三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的M點，且坐標(biāo)為 M（1，）（1，）（1，﹣1）（1，0）．考點：二次函數(shù)綜合題；分類討論；綜合題；動點型．
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