20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學易錯題專題訓練-二次函數(shù)練習題附詳細答案-展示頁
2025-03-30 22:26本頁面
【正文】 ，點B的坐標為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE=DE．①求點P的坐標；②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知求點A的坐標，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；（2）①先得AB的解析式為：y=2x+2，根據(jù)PD⊥x軸，設(shè)P（x，x23x+4），則E（x，2x+2），根據(jù)PE=DE，列方程可得P的坐標；②先設(shè)點M的坐標，根據(jù)兩點距離公式可得AB，AM，BM的長，分三種情況：△ABM為直角三角形時，分別以A、B、M為直角頂點時，利用勾股定理列方程可得點M的坐標．【詳解】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴， ∴， ∴AC=6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式為：y=﹣2x+2， 設(shè)P（x，﹣x2﹣3x+4），則E（x，﹣2x+2），∵PE=DE， ∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），∴x=1或1（舍）， ∴P（﹣1，6）；②∵M在直線PD上，且P（﹣1，6），設(shè)M（﹣1，y）， ∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2， AB2=（1+2）2+62=45，分三種情況：i）當∠AMB=90176。時，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2， ∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）當∠BAM=90176。,∵∠PAF+∠FPA=90176?！唷鱌FA∽△AEB,∴，即，解得，x= ?1，x=4（舍去）∴x24x=5∴點P的坐標為（1，5），又∵B點坐標為（1，3），易得到BP直線為y=4x+1所以BP與x軸交點為（，0）∴S△PAB=【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，特別是利用待定系數(shù)法將兩條直線表達式解出，利用點的坐標求三角形的面積是關(guān)鍵．4．如圖，某足球運動員站在點O處練習射門，(點A在y軸上)，足球的飛行高度y(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝at2＋5t＋c，.(1)足球飛行的時間是多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飛行的水平距離x(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系x＝10t，如果該運動員正對球門射門時，離球門的水平距離為28m，他能否將球直接射入球門？【答案】（1）足球飛行的時間是s時，足球離地面最高，；（2）能.【解析】試題分析：（1）由題意得：函數(shù)y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過（0，）（，），于是得到，求得拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+，當t=時，y最大=；（2）把x=28代入x=10t得t=，當t=，y=﹣+5+=＜，于是得到他能將球直接射入球門．解：（1）由題意得：函數(shù)y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過（0，）（，），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+，∴當t=時，y最大=；（2）把x=28代入x=10t得t=，∴當t=，y=﹣+5+=＜，∴他能將球直接射入球門．考點：二次函數(shù)的應(yīng)用．5．如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點，并與過A點的直線y=﹣x﹣1交于點C．（1）求拋物線解析式及對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使四邊形ACPO的周長最??？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）點M為y軸右側(cè)拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點N，使以點M、N、C為頂點的三角形與△AOC相似，若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y=，拋物線對稱軸為直線x=1；（2）存在P點坐標為（1，﹣）；（3）N點坐標為（4，﹣3）或（2，﹣1）【解析】分析：（1）由待定系數(shù)法求解即可；（2）將四邊形周長最小轉(zhuǎn)化為PC+PO最小即可；（3）利用相似三角形對應(yīng)點進行分類討論，構(gòu)造圖形．設(shè)出點N坐標，表示點M坐標代入拋物線解析式即可．詳解：（1）把A（2，0），B（4，0）代入拋物線y=ax2+bx1，得 解得 ∴拋物線解析式為：y=x2?x?1∴拋物線對稱軸為直線x=＝1（2）存在使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小∴取點C（0，1）關(guān)于直線x=1的對稱點C′（2，1），連C′O與直線x=1的交點即為P點．設(shè)過點C′、O直線解析式為：y=kx∴k=∴y=x則P點坐標為（1，）（3）當△AOC∽△MNC時，如圖，延長MN交y軸于點D，過點N作NE⊥y軸于點E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90176。（Ⅰ）當時，求點A，點E的坐標； （Ⅱ）若頂點E在直線上，當點A位置最高時，求拋物線的解析式；（Ⅲ）若，當滿足值最小時，求b的值。解得（Ⅱ）由，得∵點E在直線上，當時，點A是最高點此時，（Ⅲ）：拋物線經(jīng)過點，有∴E關(guān)于x軸的對稱點為設(shè)過點A，得把點代入.得，即解得。拋物線的對稱軸為直線。（Ⅲ）存在，點坐標為或，理由見解析【解析】【分析】（Ⅰ）將點代入二次函數(shù)的解析式，即可求出a，再根據(jù)對稱軸的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B點胡坐標，要求胡最小值，只需找到B關(guān)于軸的對稱點，則直線A與y軸的交點就是點P，根據(jù)待定系數(shù)法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P點的坐標.（Ⅲ）設(shè)點Q的坐標，并求出△AOQ面積，從而得到△AOQ面積，根據(jù)Q點
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