【正文】 令，解得；．∴第10天或第35天該商品的銷售單價為35元/件．（2）當1≤x≤20時，；當21≤x≤40時，．∴y關于x的函數關系式為．（3）當1≤x≤20時，∵，∴當x=15時，y有最大值y1，且y1=．當21≤x≤40時，∵26250＞0，∴隨著x的增大而減小，∴當x=21時，有最大值y2，且．∵y1＜y2，∴這40天中該網店第21天獲得的利潤最大？最大利潤是725元．13．如圖，已知拋物線過點A(,3) 和B(3,0)，過點A作直線AC//x軸，交y軸與點C．（1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上取一點P，過點P作直線AC的垂線，垂足為D，連接OA，使得以A，D，P為頂點的三角形與△AOC相似，求出對應點P的坐標； （3）拋物線上是否存在點Q，使得?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）；（2）P點坐標為（4 ,6）或（, ）；（3）Q點坐標（3，0）或（2，15）【解析】【分析】（1）把A與B坐標代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出解析式；（2）設P坐標為，表示出AD與PD，由相似分兩種情況得比例求出x的值，即可確定出P坐標；（3）存在，求出已知三角形AOC邊OA上的高h，過O作OM⊥OA，截取OM=h,與y軸交于點N，分別確定出M與N坐標，利用待定系數法求出直線MN解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出Q坐標即可．【詳解】（1）把，和點，代入拋物線得：，解得：，則拋物線解析式為；（2）當在直線上方時，設坐標為，則有，當時，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時，；當時，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此時，；當點時，也滿足；當在直線下方時，同理可得：的坐標為，綜上，的坐標為，或，或，或；（3）在中，，根據勾股定理得：， ，，邊上的高為，過作，截取，過作，交軸于點，如圖所示：在中，即，過作軸，在中，，即，設直線解析式為，把坐標代入得：，即，即，聯(lián)立得：，解得：或，即，或，則拋物線上存在點，使得，此時點的坐標為，或，．【點睛】二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定與性質，點到直線的距離公式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．14．如圖，拋物線交軸于點，交軸于點，已知經過點的直線的表達式為．（1）求拋物線的函數表達式及其頂點的坐標；（2）如圖①，點是線段上的一個動點，其中，作直線軸，交直線于，交拋物線于，作∥軸，交直線于點，四邊形為矩形．設矩形的周長為，寫出與的函數關系式，并求為何值時周長最大；（3）如圖②，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使點構成的三角形是以為腰的等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．圖① 圖②【答案】（1）拋物線的表達式為y=x22x+3，頂點C坐標為（1,4）；（2）L=4m212m=4（m+）2+9；當m=時，最大值L=9；（3）點Q的坐標為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．【解析】試題分析：（1）由直線經過A、B兩點可求得這兩點的坐標，然后代入二次函數解析式即可求出b、c的值，從而得到解析式，進而得到頂點的坐標；（2）由題意可表示出D、E的坐標，從而得到DE的長，由已知條件可得DE=EF，從而可表示出矩形DEFG的周長L，利用二次函數的性質可求得最大值；（3）分別以點A、點B為圓心，以AB長為半徑畫圓，圓與對稱軸的交點即為所求的點．試題解析：（1）直線y=x+3與x軸相交于A（3,0 ），與y軸相交于B（0,3）拋物線y=x2+bx+c經過A（3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以拋物線的表達式為y=x22x+3，∵y=x22x+3=（x+1）2+4,所以，頂點坐標為C（1,4）． （2）因為D在直線y=x+3上，∴D（m,m+3）．因為E在拋物線上，∴E（m，m22m+3）．DE=m22m+3（m+3）=m23m．由題意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45176。，∴DE=EF．L=4DE=4m212m．L=4m212m=4（m+）2+9．∵a=40,∴二次函數有最大值當m=時，最大值L=9．（3）點Q的坐標為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．考點：待定系數法；正方形的判定；二次函數的性質的應用；等腰三角形．15．拋物線，若a，b，c滿足b=a+c，則稱拋物線為“恒定”拋物線．（1）求證：“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A；（2）已知“恒定”拋物線的頂點為P，與x軸另一個交點為B，是否存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見試題解析；（2），或．【解析】試題分析：（1）由“恒定”拋物線的定義，即可得出拋物線恒過定點（﹣1，0）；（2）求出拋物線的頂點坐標和B的坐標，由題意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在兩種情況：①作QM⊥AC于M，則QM=OP=，證明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出點Q的坐標，設拋物線的解析式為，把點A坐標代入求出a的值即可；②頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合；證明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出點Q坐標，設拋物線的解析式為，把點C坐標代入求出a的值即可．試題解析：（1）由“恒定”拋物線，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵拋物線，當x=﹣1時，y=0，∴“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”拋物線，當y=0時，解得：x=177。1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0時，y=，∴頂點P的坐標為（0，），以PA，CQ為邊的平行四邊形，PA、CQ是對邊，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在兩種情況：①如圖1所示：作QM⊥AC于M，則QM=OP=，∠QMC=90176。=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵點A和點C是拋物線上的對稱點，∴AM=MC=1，∴點Q的坐標為（﹣2，），設以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點A（﹣1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：，即；②如圖2所示：頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合，∴點C坐標為（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴點Q坐標為（0，），設以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點C（1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：；綜上所述：存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形，拋物線的解析式為：，或．考點：1．二次函數綜合題；2．壓軸題；3．新定義；4．存在型；5．分類討論．