【正文】 【解析】【分析】（1）解方程x2?x4=0得A（3，0），B（4，0），計算自變量為0時的二次函數(shù)值得C點坐標；（2）利用勾股定理計算出AC=5，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為y=x4，則可設Q（m，m4）（0＜m＜4），討論：當CQ=CA時，則m2+（m4+4）2=52，當AQ=AC時，（m+3）2+（m4）2=52；當QA=QC時，（m+3）2+（m4）2=52，然后分別解方程求出m即可得到對應的Q點坐標；（3）過點F作FG⊥PQ于點G，如圖，由△OBC為等腰直角三角形．可判斷△FQG為等腰直角三角形，則FG=QG=FQ，再證明△FGP～△AOC得到，則PG=FQ，所以PQ=FQ，于是得到FQ=PQ，設P（m，m2m4）（0＜m＜4），則Q（m，m4），利用PQ=m2+m得到FQ=（m2+m），然后利用二次函數(shù)的性質解決問題．【詳解】（1）當y=0，x2?x4=0，解得x1=3，x2=4，∴A（3，0），B（4，0），當x=0，y=x2?x4=4，∴C（0，4）；（2）AC=，易得直線BC的解析式為y=x4，設Q（m，m4）（0＜m＜4），當CQ=CA時，m2+（m4+4）2=52，解得m1=，m2=（舍去），此時Q點坐標為（，4）；當AQ=AC時，（m+3）2+（m4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此時Q點坐標為（1，3）；當QA=QC時，（m+3）2+（m4）2=52，解得m=（舍去），綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（，4）或（1，3）；（3）解：過點F作FG⊥PQ于點G，如圖，則FG∥x軸．由B（4，0），C（0，4）得△OBC為等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45 ∴△FQG為等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90176。，∴△FGP～△AOC．∴，即，∴PG=FG=?FQ=FQ，∴PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，∴FQ=PQ，設P（m，m2m4）（0＜m＜4），則Q（m，m4），∴PQ=m4（m2m4）=m2+m，∴FQ=（m2+m）=（m2）2+∵＜0，∴QF有最大值．∴當m=2時，QF有最大值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質和等腰三角形的性質；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質，會利用相似比表示線段之間的關系；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．14．拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（m，0），與y軸交于C．（1）若m=﹣3，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；（2）如圖1，在（1）的條件下，設拋物線的對稱軸交x軸于D，在對稱軸左側的拋物線上有一點E，使S△ACE=S△ACD，求點E的坐標；（3）如圖2，設F（﹣1，﹣4），F(xiàn)G⊥y于G，在線段OG上是否存在點P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；對稱軸是：直線x=﹣1；（2）點E的坐標為E（﹣4，5）（3）當﹣4≤m＜0或m=3時，在線段OG上存在點P，使∠OBP=∠FPG.【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并配方求對稱軸；（2）如圖1，設E（m，m2+2m﹣3），先根據(jù)已知條件求S△ACE=10，根據(jù)不規(guī)則三角形面積等于鉛直高度與水平寬度的積列式可求得m的值，并根據(jù)在對稱軸左側的拋物線上有一點E，則點E的橫坐標小于﹣1，對m的值進行取舍，得到E的坐標；（3）分兩種情況：①當B在原點的左側時，構建輔助圓，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，只要滿足∠BPF=90176。就可以構成∠OBP=∠FPG，如圖2，求出圓E與y軸有一個交點時的m值，則可得取值范圍；②當B在原點的右側時，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形時滿足條件，直接計算即可．試題解析：（1）當m=﹣3時，B（﹣3，0），把A（1，0），B（﹣3，0）代入到拋物線y=x2+bx+c中得：，解得，∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；對稱軸是：直線x=﹣1；（2）如圖1，設E（m，m2+2m﹣3），由題意得：AD=1+1=2，OC=3，S△ACE=S△ACD=ADOC=23=10，設直線AE的解析式為：y=kx+b，把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，解得：，∴直線AE的解析式為：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，（m+4）（m﹣5）=0，m1=﹣4，m2=5（舍），∴E（﹣4，5）；（3）如圖2，當B在原點的左側時，連接BF，以BF為直徑作圓E，當⊙E與y軸相切時，設切點為P，∴∠BPF=90176。，∴∠FPG+∠OPB=90176。，∵∠OPB+∠OBP=90176。，∴∠OBP=∠FPG，連接EP，則EP⊥OG，∵BE=EF，∴EP是梯形的中位線，∴OP=PG=2，∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，∴，∴m=﹣4，∴當﹣4≤m＜0時，在線段OG上存在點P，使∠OBP=∠FPG；如圖3，當B在原點的右側時，要想滿足∠OBP=∠FPG，則∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，綜上所述，當﹣4≤m＜0或m=3時，在線段OG上存在點P，使∠OBP=∠FPG．考點：二次函數(shù)的綜合題.15．如圖1,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點,拋物線的頂點為軸于點．將拋物線平移后得到頂點為且對稱軸為直的拋物線．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2,在直線上是否存在點,使是等腰三角形?若存在,請求出所有點的坐標:若不存在,請說明理由；(3)點為拋物線上一動點,過點作軸的平行線交拋物線于點，點關于直線的對稱點為，若以為頂點的三角形與全等,求直線的解析式．【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）點的坐標為,；（3）的解析式為或.【解析】分析：（1）把和代入求出a、c的值，進而求出y1，再根據(jù)平移得出y2即可；（2）拋物線的對稱軸為,設,已知，過點作軸于,分三種情況時行討論等腰三角形的底和腰，得到關于t的方程，解方程即可；（3）設,則,根據(jù)對稱性得,分點在直線的左側或右側時,結合以構成的三角形與全等求解即可.詳解:(1)由題意知，解得， 所以,拋物線y的解析式為；因為拋物線平移后得到拋物線,且頂點為，所以拋物線的解析式為，即： ；(2)拋物線的對稱軸為,設,已知，過點作軸于,則 ， ，當時，即，解得或；當時,得，無解；當時,得,解得。綜上可知,在拋物線的對稱軸上存在點使是等腰三角形,此時點的坐標為,.(3)設,則,因為關于對稱,所以,情況一:當點在直線的左側時, ,又因為以構成的三角形與全等,當且時,可求得,即點與點重合所以,設的解析式,則有解得,即的解析式為,當且時,無解,情況二:當點在直線右側時, ,同理可得的解析式為,綜上所述, 的解析式為或.點睛：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的性質等知識，解答（1）問的關鍵是求出a、c的值，解答（2）、（3）問的關鍵是正確地作出圖形，進行分類討論解答，此題有一定的難度．