20xx-20xx中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的綜合熱點(diǎn)考點(diǎn)難點(diǎn)-資料下載頁
2025-03-30 22:20本頁面
【正文】 方程組得此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P時(shí)，利用同樣的方法可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．詳解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），∵M(jìn)B=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時(shí)MB+MD的值最小，而BD的值不變，∴此時(shí)△BDM的周長最小，易得直線DB′的解析式為y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；（3）存在．過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，∵直線AC的解析式為y=3x+3，∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）.綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）.點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解兩直線垂直時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，通過解方程組求把兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問題；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接. （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，.【解析】分析：（1）把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可； （2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DG⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，表示△ADE的面積，運(yùn)用二次函數(shù)分析最值即可； （3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．詳解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過點(diǎn)D作DN⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如圖， 設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，∴當(dāng)m=時(shí)，△ADE的面積取得最大值為． （3）y=的對(duì)稱軸為x=﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當(dāng)PA=PE時(shí)，=，解得：n=1，此時(shí)P（﹣1，1）； 當(dāng)PA=AE時(shí)，=，解得：n=，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）； 當(dāng)PE=AE時(shí)，=，解得：n=﹣2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)求拋物線解析式，會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會(huì)分類討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問題時(shí)解決此題的關(guān)鍵．14．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）和點(diǎn)D（4，﹣2）．點(diǎn)E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)．（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖②，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐標(biāo)為（，3）；（3）F坐標(biāo)為（0，﹣）．【解析】【分析】1）把C與D坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a與c的值，確定出二次函數(shù)解析式，與一次函數(shù)解析式聯(lián)立求出E坐標(biāo)即可；（2）過M作MH垂直于x軸，與直線CE交于點(diǎn)H，四邊形COEM面積最大即為三角形CME面積最大，構(gòu)造出二次函數(shù)求出最大值，并求出此時(shí)M坐標(biāo)即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A與B坐標(biāo)，由圓周角定理及相似的性質(zhì)得到三角形AOC與三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的長，即可確定出F坐標(biāo)．【詳解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數(shù)解析式得： ，解得： ，即二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+x+2，聯(lián)立一次函數(shù)解析式得：，消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，解得：x=0或x=3，則E（3，1）；（2）如圖①，過M作MH∥y軸，交CE于點(diǎn)H，設(shè)M（m，﹣m2+m+2），則H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四邊形COEM=S△OCE+S△CME=23+MH?3=﹣m2+3m+3，當(dāng)m=﹣=時(shí)，S最大=，此時(shí)M坐標(biāo)為（，3）；（3）連接BF，如圖②所示，當(dāng)﹣x2+x+20=0時(shí)，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴ ，即 ，解得：OF=，則F坐標(biāo)為（0，﹣）．【點(diǎn)睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，以及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15．已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（0，3），B（﹣4，﹣）兩點(diǎn)．（1）求b，c的值．（2）二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸是否有公共點(diǎn)，求公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明情況．【答案】（1）；（2）公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，0）或（8，0）．【解析】【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式求得b、c的值；（2）利用根的判別式進(jìn)行判斷該函數(shù)圖象是否與x軸有交點(diǎn)，由題意得到方程﹣+3=0，通過解該方程求得x的值即為拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)．【詳解】（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分別代入y=﹣x2+bx+c，得，解得；（2）由（1）可得，該拋物線解析式為：y=﹣x2+x+3，△=（）2﹣4（﹣）3=＞0，所以二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸有公共點(diǎn)，∵﹣x2+x+3=0的解為：x1=﹣2，x2=8，∴公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，0）或（8，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．注意拋物線解析式與一元二次方程間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．
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