20xx20屆市高級高三1月調(diào)研考試數(shù)學(xué)理試題解析版-資料下載頁
2025-01-16 23:08本頁面
【正文】 ．已知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10萬元、20萬元、20萬元． （1）要使觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，求的最大值； （2）試問：當(dāng)為多少時，年總收入最大？ 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由，，所以與全等. 可得，根據(jù)面積公式，可求得觀賞區(qū)的面積為，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，則要求，解不等式即可求出結(jié)果. （2）由題意可得種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設(shè)年總收入為萬元，則 ，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可求出結(jié)果. 【詳解】 （1）∵，，所以與全等. 所以，觀賞區(qū)的面積為 ，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，則要求，即，結(jié)合可知，則的最大值為. （2）種植區(qū)的面積為， 正方形面積為， 設(shè)年總收入為萬元，則 ， 其中，求導(dǎo)可得. 當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞增. 所以當(dāng)時，取得最大值，此時年總收入最大. 【點睛】 題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及導(dǎo)數(shù)在求最值的應(yīng)用. 21．已知函數(shù). (1)當(dāng)時求函數(shù)的最小值； (2)若函數(shù)在上恒成立求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1)4. (2) . 【解析】試題分析： （Ⅰ）結(jié)合題意利用基本不等式求解即可．（Ⅱ）由題意得在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)的最值后可得結(jié)論． 試題解析： （Ⅰ）當(dāng)時， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立， 所以． （Ⅱ）由題意得在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴， 又， ， 解得， 所以實數(shù)的取值范圍是． 22．已知函數(shù). （1）若，求函數(shù)的極值； （2）當(dāng) 時，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù). 【答案】(1)詳見解析。(2)詳見解析. 【解析】【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得，又，所以，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，進而可求得極值； （2）由，得。因此分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點存在定理判斷函數(shù)零點的個數(shù)。
試題解析： （1）∵， ∴， 因為，所以， 當(dāng)x變化時，的變化情況如下表： 1 0 0 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 由表可得當(dāng)時，有極大值，且極大值為， 當(dāng)時，有極小值，且極小值為. （2）由（1）得。
∵ ，∴. ① 當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上遞減 又因為 所以在（0,1）和（1,2）上各有一個零點， 所以上有兩個零點。
② 當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增， 又因為 所以在上有且只有一個零點，在上沒有零點， 所以在上有且只有只有一個零點. 綜上： 當(dāng)時，在上有兩個零點； 當(dāng)時，在上有且只有一個零點。
點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點）的方法 研究方程根（函數(shù)零點）的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)。
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