【文章內(nèi)容簡介】 ，則這兩條直線平行 D． 若平面 M 外的兩條直線在平面 M 內(nèi)的射影為兩條互相垂直的直線，則這兩條直線 垂直 3． 相交成 60176。的兩條直線與一個平面α所成的角都是 45176。，那么這兩條直線在平面 α 內(nèi)的 射影所成的角是 （ ） A． 30176。 B． 45176。 C． 60176。 D． 90176。 4． 已知 A、 B 兩點在平面α的同側(cè)， AC⊥α于 C， BD⊥α于 D，并且 AD∩ BC＝ E， EF⊥ α于 F， AC＝ a， BD=b，那么 EF 的長等于 （ ） A． baab? B． abba? C． ba2? D． 2ba? 5． PA、 PB、 PC 是從 P 點引出的三條射線，每兩條夾角都是 60176。，那么直線 PC 與平面 PAB 所成角的余弦值是 （ ） A． 21 B． 22 C． 36 D． 33 6． Rt△ ABC 中，∠ B＝ 90176。，∠ C＝ 30176。， D 是 BC 的中點， AC＝ 2， DE⊥平面 ABC， 且 DE＝ 1，則點 E 到斜邊 AC 的距離是 （ ） A． 25 B． 211 C． 27 D． 419 7． 如圖， PA⊥矩形 ABCD，下列結論中不正確的是（ ） A． PB⊥ BC B． PD⊥ CD C． PD⊥ BD D． PA⊥ BD 8． 如果α∥β， AB 和 AC 是夾在平面α與β之間的 兩條線段， AB⊥ AC，且 AB＝ 2，直線 AB 與平面 α所成的角為 30176。，那么線段 AC 的長的取值范圍是（ ） A． 2 3 3 3( , )34 B． [1, )?? C． 23(1, )3 D． 23[ , )3 ?? 9． 若 a, b 表示兩條直線， ? 表示平面，下面命題中正確的是 （ ） A．若 a⊥ ? , a⊥ b，則 b//? B．若 a//? , a⊥ b，則 b⊥α C．若 a⊥ ? ,b? ? ，則 a⊥ b D．若 a//? , b//? ，則 a//b 10． 如果直角三角形的斜邊與平面 ? 平行，兩條直角邊所在直線與平面 ? 所成的角分別為 21 ??和 ，則 （ ） A． 1sinsin 2212 ?? ?? B． 1sinsin 2212 ?? ?? C． 1sinsin 2212 ?? ?? D． 1sinsin 2212 ?? ?? 二、填空 題 （本題每小題 6 分，共 24 分） 11． 已知△ ABC，點 P 是平面 ABC 外一點，點 O 是點 P 在平面 ABC 上的射影，（ 1）若點 P 到△ ABC 的三個頂點的距離相等，那么 O 點一定是△ ABC 的 ；（ 2）若 點 P 到△ ABC 的三邊所在直線的距離相等且 O 點在△ ABC 內(nèi)，那么 O 點一定是△ ABC 的 ． 12． 已知△ ABC 中， AB=9， AC=15，∠ BAC=120176。，△ ABC 所在平面外一點 P 到此三角形 三個頂點的距離都是 14，則點 P 到平面 ABC 的距離是 13．如圖所示，矩形 ABEF 與矩形 EFDC 相交于 EF， 且 BE⊥ CE， AB＝ CD＝ 4， BE＝ 3， CE＝ 2， ∠ EAC＝α，∠ ACD＝β，則 cosα∶ cosβ＝ ． 14． AB∥ CD，它們都在平面 ?內(nèi)，且相距 28． EF∥ ?，且相距 15． EF∥ AB，且相距 17．則 EF 和 CD 間的距離為 ． 三、解答題 （共 76 分） 15．（ 12 分）如圖，在正方體 ABCD— A1B1C1D1中，求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角 . 16．（ 12 分） A是△ BCD 所在平面外的點，∠ BAC=∠ CAD=∠ DAB=60176。， AB=3， AC=AD=2. （ 1）求證： AB⊥ CD； （ 2）求 AB 與平面 BCD 所成角的余弦值 . 17．（ 12 分）如圖，已知矩形 ABCD 所在平面外一點 P， PA⊥平面 ABCD， E、 F 分別是 AB、 PC 的中點． （ 1）求證 ： EF∥平面 PAD； （ 2）求證： EF⊥ CD； （ 3）若 ?PDA＝ 45?，求 EF 與平面 ABCD 所成的角的大?。? 18．（ 12 分） 在 ABC? 中， ??? 75BAC ，線段 VA ? 平面 ABC ，點 A 在平面 VBC 上的 射 影為 ： H 不可能是 VBC? 的垂心 . 19．（ 14 分） AB 是⊙ O 的直徑， C 為圓上一點， AB＝ 2， AC＝ 1， P 為⊙ O 所在平面外一點，且 PA⊥⊙ O， PB與平面所成角為 45 （ 1）證明： BC⊥平面 PAC ； （ 2）求點 A到平面 PBC 的距離． 20．（ 14 分）如圖所示，在斜邊為 AB 的 Rt△ ABC 中，過 A 作 PA⊥平面 ABC， AM⊥ PB 于 M， AN⊥ PC 于 N. （ 1）求證： BC⊥面 PAC； （ 2）求證： PB⊥面 AMN. （ 3）若 PA=AB=4，設∠ BPC=θ ，試用 tanθ 表示△ AMN 的面 積，當 tanθ 取何值時，△ AMN的面積最大？ 最大面積是多少？ 參考答案 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A D D C D C B 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 6 分，共 24 分） 11．外心、內(nèi)心 12． 7 13． 5： 4 14． 39 或 25 三、解答題（本大題共 6 題，共 76 分） 15．（ 12 分） 解：連結 BC1交 B1C 于 O，連結 A1O 在正方體 ABCD— A1B1C1D1中各個面為正方形，設棱長為 a, ∵ A1B1⊥ B1C1,A1B1⊥ B1B,∴ A1B1⊥ BC1.∵ BC1⊥ B1C,∴ BC1⊥平面 A1B1CD ∴ A1O 為 A1B 在平面 A1B1CD 內(nèi)的射影 ,∴∠ BA1O 是 A1B 與平面 A1B1CD 所成的角 在 Rt△ A1BO 中，∴ A1B= 2 a,OB= 22 a,∴ sinBA1O=211 ?BAOB 又∵∠ BA1O 為銳角 ,∴∠ BA1O=30176。 ,即 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角為 30176。 16． (12 分 ) 解（ 1）∵∠ BAC=∠ CAD=∠ DAB=60176。， AC=AD=2， AB=3， ∴△ ABC≌△ ABD， BC= CD 的中點 M，連 AM、 BM，則 CD⊥ AM， CD⊥ BM. ∴ CD⊥平面 ABM，于是 AB⊥ BD. （ 2）過 A作 BMAO? 于 O，∵ CD⊥平面 ABM，∴ CD⊥ AO，∴ AO⊥面 BCD， ∴ BM 是 AB 在面 BCD 內(nèi)的射影，這樣∠ ABM 是 AB 與平面 BCD 所成的角 . 在△ ABC 中， AB=3， AC=2，∠ BAC=60176。， 722 ?????? ACABACABBC . 在△ ACD 中， AC=AD=2，∠ CAD=60176。，∴△ ACD 是正三角形， AM= 3 . 在 Rt△ BCM 中， BC= 7 ， CM=1， 6??BM . .362c o s 222 ?? ????? BMAB AMBMABA B M 17． (12 分 ) 證：連 AC，設 AC 中點為 O，連 OF、 OE （ 1）在△ PAC 中，∵ F、 O 分別為 PC、 AC 的中點 ∴ FO∥ PA ????① 在△ ABC 中， ∵ E、 O 分別為 AB、 AC 的中點 ∴ EO∥ BC ,又 ∵ BC∥ AD ∴ EO∥ AD ????② 綜合①、②可知：平面 EFO∥平面 PAD ∵ EF ? 平面 EFO ∴ EF∥平面 PAD． （ 2）在矩形 ABCD 中，∵ EO∥ BC， BC⊥ CD ∴ EO⊥ CD 又 ∵ FO∥ PA， PA⊥平面 AC ∴ FO⊥平面 AC ∴ EO 為 EF 在平面 AC 內(nèi)的射影 ∴ CD⊥ EF． （ 3）若 ?PDA＝ 45?，則 PA＝ AD＝ BC ∵ EO ∥＝ 12 BC， FO ∥＝ 12 PA ∴ FO＝ EO 又 ∵ FO⊥平面 AC ∴ △ FOE 是直角三角形 ∴ ?FEO＝ 45?． 18．（ 12 分） 證明：假設 H 是 VBC? 的垂心 連結 BH 并延長與 VC 相交 ∵ ?AH 平面 VBC ∴ BH 是 AB 在平面 VBC 內(nèi)的射影 又∵ VCBH? ∴ VCAB? 又∵ ?VA 平面 ABC ∴ AC 是 VC 在平面 ABC 內(nèi)的射影 ∴ ACAB? 這與 ??? 75BAC 矛盾 ∴ H 不可能是 VBC? 的垂心 19．（ 14 分）解：（ 1）∵ PA⊥平面 ABC ∴ PA⊥ BC ∵ AB 是⊙ O 的直徑， C 為圓上一點∴ BC⊥ AC ∴ BC⊥平面 PAC （ 2）過 A作 AD⊥ PC于 D∵ BC⊥平面 PAC， BC? 平面 PBC ∴ PAC⊥ PBC， PC 為交線 ∴ AD⊥平面 PBC ∴ AD 即為 A到平面 PBC 的距離 . 依題意，∠ PBA為 PB 與面 ABC 所成角，即∠ PBA＝ 45176。∴ PA=AB=2， AC=1， F O A B C D P E ACVBH 可得 PC= 5 ∵ AD PC＝ PA AC ∴ AD＝ 2 1 2 555? ?， 即 A到平面 PBC 的距離為 255? 20．（ 14 分）（ 1）證明：∵ PA⊥平面 ABC， BC? 平面 ABC. ∴ PA⊥ BC，又 AB 為斜邊，∴ BC⊥ AC， PA∩ AC=A，∴ BC⊥平面 PAC. （ 2）證明：∵ BC⊥平 面 PAC， AN? 平面 PAC ∴ BC⊥ AN，又 AN⊥ PC，且 BC∩ PC=C， ∴ AN⊥面 PBC，又 PB ? 平面 PBC.∴ AN⊥ PB， 又∵ PB⊥ AM， AM∩ AN=A ，∴ PB⊥平面 AMN. （ 3）解：在 Rt△ PAB 中， PA =AB=4，∴ PB=4 2 ， ∵ PM⊥ AB，∴ AM=21PB=2 2 ，∴ PM=BM=2 2 又∵ PB⊥面 AMN， MN? 平面 AMN.∴ PB⊥ MN, ∵ MN=PM tanθ =2 2 tanθ ,∵ AN⊥平面 PBC， MN? 平面 PBC.∴ AN⊥ MN ∵ AN= ?? 22222 t a n88t a n8)22( ????? MNAM 41)21( t a n4t a n22t a n1222121 222 ???????????? ???MNANS A MN? ∴當 tan2θ =21 ,即 tanθ = 22 時， S△ AMN有最大值為 2， ∴當 tanθ = 22 時， S△ AMN 面積最大，最大值為 2． 平面和平面的位置關系 一、 選擇題： 本大題共 12 個小題，每小題 5分，共 50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．下列命題中正確的是 （ ） A．垂直于同一平面的兩平面平行