高中數(shù)學數(shù)列經典題型總結(編輯修改稿)
2025-01-22 15:19 本頁面
【文章內容簡介】 要使21（ 1－161?n） 20m（ nN?? ）成立的 m,必須且僅須滿足21≤20m，即 m≥ 10，所以滿足要求的最小正整數(shù) m 為 10. 評析：一般地，若數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，且公差不為 0，首項也不為 0，則求和： ?? ?ni iiaa1 11首先考慮 ??? ?ni iiaa1 11 ?? ??ni ii aad1 1 )11(1 則 ?? ?ni iiaa1 11 =1111 )11(1?? ?? nn aanaad 。下列求和：?? ??ni ii aa1 11 也可用裂項求和法。 五、分組求和法 所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。 例 7 數(shù)列 {an}的前 n 項和 12 ?? nn aS ，數(shù)列 {bn}滿 )(,3 11 ?? ???? Nnbabb nnn . （Ⅰ）證明數(shù)列 {an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列 {bn}的前 n 項和 Tn。 解析：（Ⅰ）由 12,12 11 ?????? ??? nnnn aSNnaS ， 兩式相減得： ,22 11 nnn aaa ?? ?? 01.,2 11 ????? ?? nnn aaNnaa 知同， ,21 ?? ?nnaa 同定義知 }{na 是首項為 1，公比為 2 的等比數(shù)列 . （Ⅱ） ,22,2 11111 ????? ????? nnnnnnnn bbbba ?,2,2,2 234123012 ?????? bbbbbb ,2 21 ?? ?? nnn bb 等式左、右兩邊分別相加得： ,2221 213222 112101 ??????????? ??? nnnn bb ? nT nnn 2)2222()22()22()22()22( 12101210 ???????????????? ?? ?? 8 = .122221 21 ?????? nn nn 例 8 求 2 2 2 2 1 21 2 3 4 ( 1 ) nSn ?? ? ? ? ? ? ?（ nN?? ） 解：⑴ 當 n 為偶數(shù)時， 2 2 2 2 2 2 ( 1 )( 1 2 ) ( 3 4 ) [ ( 1 ) ] ( 1 2 ) 2nnS n n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； ⑵ 當 n 為奇數(shù)時， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) 1( 1 2 ) ( 3 4 ) [ ( 2 ) ( 1 ) ] [ 1 2 ( 1 ) ] ( )22nnS n n n n n n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?綜上所述， 1 1( 1) ( 1)2nS n n?? ? ?． 點評：分組求和即將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個可以求和的數(shù)列 ,分別求和 . 六、利用數(shù)列的通項求和 先根據(jù)數(shù)列的結構及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前 n 項和，是一個重要的方法 . 例 9 求??? 1 1111111111 個n ??????????之和 . 解：由于 )110(9199 9 99111 1 1 11 ?????????? kkk ???????? 個個 （找通項及特征） ∴ ??? 1 1111111111 個n ?????????? ＝ )110(91)110(91)110(91)110(91 321 ??????????? n （分組求和） ＝ )1111(91)10101010(91 1321 ?? ??? ?? 個nn ??????????????? ＝ 9110 )110(1091 nn ???? ＝ )91010(811 1 nn ??? 例 10 已知數(shù)列 {an}： ??? ?????? 1 1 ))(1(,)3)(1(8n nnn aannna 求的值 . 解：∵ ])4)(2( 1)3)(1( 1)[1(8))(1( 1 ????????? ? nnnnnaan nn （找 9 通項及特征） ＝ ])4)(3( 1)4)(2( 1[8 ?????? nnnn （設制分組） ＝ )4131(8)4121(4 ???????? nnnn （裂項） ∴ ??? ?????? ? ?????????? 111 1 )4131(8)4121(4))(1(nnn nn nnnnaan （分組、裂項求和） ＝ 418)4131(4 ???? ＝ 313 類型 1 )(1 nfaa nn ??? 解法：把原遞推公式轉化為 )(1 nfaa nn ??? ，利用 累加法 (逐差相加法 )求解。 例 :已知數(shù)列 ??na 滿足 211?a， nnaann ???? 21 1，求 na 。 解：由條件知：111)1( 1121 ????????? nnnnnnaa nn 分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，代入上式得 )1( ?n 個等式累加之，即 )()()()( 1342312 ??????????????? nn aaaaaaaa )111()4131()3121()211( nn ???????????????? 所以 naan 111 ??? 211?a? ， nna n 1231121 ?????? 類型 2 nn anfa )(1 ?? 解法：把原遞推公式轉化為 )(1 nfaa nn ??，利用 累乘法 (逐商相
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