高中數學組合例習題教學設計(編輯修改稿)
2025-09-11 16:19 本頁面
【文章內容簡介】 第一類：排頭和排尾均不含甲和乙的站法，如圖： 甲 乙 ， 這樣的站法有 種； 第二類：特殊位置僅出現 1 個特殊元素，如圖： 乙 甲 或甲 乙 這樣的站法有 種。 第三類：特殊位置出現 2 個特殊元素，如圖： 乙 甲， 這樣的站法有 種。 綜合以上三類，共有 3720 種。 老師：這位同學同時考慮所有的特殊位置和特殊元素，直接分類找出 滿足條件的站法，這種做法與同學一的想法類似，不同點是兩人考慮問題的角度稍有不同，所以分類的標準的確定就不一樣了。 生五：我是利用的樹形圖進行分類，如圖 要求 ”甲不排排頭，乙不排排尾 ”的種數，只需從 7 個人的全排列中去掉兩類情況：甲在排頭和甲不在排頭且乙在排尾。 7 個人的全排有 7!種排法，其中甲在排頭的有 6!種。 乙在排尾的也有 6!種，乙在排尾且同時甲在排頭的有 5！種，所以甲不在排頭，但乙在排尾的有 種，因此共有 =3720 種。 老師：這個同學的思維條例清晰，利用一個樹形圖就將問題解決了。大家有沒有發(fā)現這種解法列出的式子經過變形后與容斥原理的式子完全一樣，那么這兩種方法之間有什么關系呢？ 學生：因為文氏圖中每一部分都代表其不同的實際意義，如圖所示，藍色部區(qū)域元素個數等于甲在排頭的排法種數 ,黃色區(qū)域元素個數等于甲不在排頭，但乙在排尾的排法種數。 老師：也就是說，樹形圖和容斥原理解答本題實質上是相同的，都是借助了數形結合幫助我們理解。 生六：我也是利用分類討論的思想，從甲乙之間間隔的元素個數進行分類。 當甲乙之間有 0 人時，若甲站在乙 左邊時，有 4 種情況，若乙站在甲左邊時有 6 種情況，故共有 種站法； 當甲乙之間有 1 人時，類似可得共有 種站法；
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