【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 陶器有用1～8個(gè)圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形為100個(gè)小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫(huà)圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測(cè)量工具。據(jù)《史記夏本紀(jì)》記載，夏禹治水時(shí)已使用了這些工具。商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬(wàn)；與此同時(shí)，殷人用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個(gè)名稱(chēng)來(lái)記60天的日期；在周 代，又把以前用陰、陽(yáng)符號(hào)構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子?！抖Y記內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開(kāi)始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法，他們要受禮、樂(lè)、射、馭、書(shū)、數(shù)的訓(xùn)練，作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開(kāi)始成為專(zhuān)門(mén)的課程。春秋戰(zhàn)國(guó)之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制，這種記數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的。這個(gè)時(shí)期的測(cè)量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對(duì)于正名和一些命題的爭(zhēng)論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認(rèn)為經(jīng)過(guò)抽象以后的名詞概念與它們?cè)瓉?lái)的實(shí)體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無(wú)窮大)定義為“至大無(wú)外”，“小一”(無(wú)窮小)定義為“至小無(wú)內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點(diǎn))等等。墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個(gè)“非半”的命題來(lái)進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半”，這個(gè)“非半”就是點(diǎn)。名家的命題論述了有限長(zhǎng)度可分割成一個(gè)無(wú)窮序列，墨家的命題則指出了這種無(wú)限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成第3章 古希臘數(shù)學(xué)課時(shí)：2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：了解解析數(shù)學(xué)發(fā)展的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件的意義。教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：希臘數(shù)學(xué)顯著變化3．古 希 臘 數(shù) 學(xué)古希臘的地理范圍，除了現(xiàn)在的希臘半島外，還包括整個(gè)愛(ài)琴海區(qū)域和北面的馬其頓和色雷斯、意大利半島和小亞細(xì)亞等地。公元前6世紀(jì)，特別是希、波戰(zhàn)爭(zhēng)以后，雅典取得希臘城邦的領(lǐng)導(dǎo)地位，經(jīng)濟(jì)生活高度繁榮，生產(chǎn)力顯著提高，在這個(gè)基礎(chǔ)上產(chǎn)生了光輝燦爛的希臘文化，對(duì)后世有深遠(yuǎn)的影響。希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史可以分為三個(gè)時(shí)期。第一期從伊奧尼亞學(xué)派到柏拉圖學(xué)派為止，約為公元前七世紀(jì)中葉到公元前三世紀(jì)；第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年，希臘陷于羅馬為止；第三期是亞歷山大后期，是羅馬人統(tǒng)治下的時(shí)期，結(jié)束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領(lǐng)。從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過(guò)渡時(shí)期留下來(lái)的數(shù)學(xué)史料很少。不過(guò)希臘數(shù)學(xué)的興起和希臘商人通過(guò)旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關(guān)系。伊奧尼亞位于小亞細(xì)亞西岸，它比希臘其他地區(qū)更容易吸收巴比倫、埃及等古國(guó)積累下來(lái)的經(jīng)驗(yàn)和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統(tǒng)治所代替，商人具有強(qiáng)烈的活動(dòng)性，有利于思想自由而大膽地發(fā)展。城邦內(nèi)部的斗爭(zhēng)，幫助擺脫傳統(tǒng)信念在希臘沒(méi)有特殊的祭司階層，也沒(méi)有必須遵守的教條，因此有相當(dāng)程度的思想自由。這大大有助于科學(xué)和哲學(xué)從宗教分離開(kāi)來(lái)。米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯的故鄉(xiāng)，泰勒斯是公認(rèn)的希臘哲學(xué)鼻祖。早年是一個(gè)商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學(xué)會(huì)古代流傳下來(lái)的知識(shí)，并加以發(fā)揚(yáng)。以后創(chuàng)立伊奧尼亞哲學(xué)學(xué)派，擺脫宗教，從自然現(xiàn)象中去尋找真理，以水為萬(wàn)物的根源。當(dāng)時(shí)天文、數(shù)學(xué)和哲學(xué)是不可分的，泰勒斯同時(shí)也研究天文和數(shù)學(xué)。他曾預(yù)測(cè)一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、呂底亞(今土耳其西部)兩國(guó)停止戰(zhàn)爭(zhēng)，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為該次日食發(fā)生在公元前585年5月28日。他在埃及時(shí)曾利用日影及比例關(guān)系算出金字塔的高，使法老大為驚訝。泰勒斯在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)是開(kāi)始了命題的證明，它標(biāo)志著人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性，這在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)不尋常的飛躍。伊奧尼亞學(xué)派的著名學(xué)者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對(duì)后來(lái)的畢達(dá)哥拉斯有很大的影響。畢達(dá)哥拉斯公元前580年左右生于薩摩斯，為了擺脫暴政，移居意大利半島南部的克羅頓。在那里組織一個(gè)政治、宗教、哲學(xué)、數(shù)學(xué)合一的秘密團(tuán)體。后來(lái)在政治斗爭(zhēng)中遭到破壞，畢達(dá)哥拉斯被殺害，但他的學(xué)派還繼續(xù)存在兩個(gè)世紀(jì)之久。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派企圖用數(shù)來(lái)解釋一切，不僅僅認(rèn)為萬(wàn)物都包含數(shù)，而且說(shuō)萬(wàn)物都是數(shù)。他們以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理)聞名于世，又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。這個(gè)學(xué)派還有一個(gè)特點(diǎn)，就是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來(lái)。他們找到用三個(gè)正整數(shù)表示直角三角形三邊長(zhǎng)的一種公式，又注意到從 1起連續(xù)的奇數(shù)和必為平方數(shù)等等，這既是算術(shù)問(wèn)題，又和幾何有關(guān)，他們還發(fā)現(xiàn)五種正多面體。伊奧尼亞學(xué)派和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有顯著的不同。前者研習(xí)數(shù)學(xué)并不單純?yōu)榱苏軐W(xué)的興趣，同時(shí)也為了實(shí)用。而后者卻不注重實(shí)際應(yīng)用，將數(shù)學(xué)和宗教聯(lián)系起來(lái)，想通過(guò)數(shù)學(xué)去探索永恒的真理。公元前五世紀(jì)，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開(kāi)的精神。在公開(kāi)的討論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學(xué)及數(shù)學(xué)等知識(shí)，于是“智人學(xué)派”應(yīng)運(yùn)而生。他們以教授文法、邏輯、數(shù)學(xué)、天文、修辭、雄辯等科目為業(yè)。在數(shù)學(xué)上，他們提出“三大問(wèn)題”：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二 5 倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問(wèn)題的難處，是作圖只許用直尺(沒(méi)有刻度的尺)和圓規(guī)。希臘人的興趣并不在于圖形的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問(wèn)題，這是幾何學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向系統(tǒng)理論過(guò)渡所邁出的重要的一步。這個(gè)學(xué)派的安提豐提出用“窮竭法”去解決化圓為方問(wèn)題，這是近代極限理論的雛形。先作圓內(nèi)接正方形，以后每次邊數(shù)加倍，得13?邊形。安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會(huì)“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國(guó)的劉徽的割圓術(shù)思想不謀而合。公元前三世紀(jì)，柏拉圖在雅典建立學(xué)派，創(chuàng)辦學(xué)園。他非常重視數(shù)學(xué)，但片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在訓(xùn)練智力方面的作用，而忽視其實(shí)用價(jià)值。他主張通過(guò)幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力，因?yàn)閹缀文芙o人以強(qiáng)烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中。這個(gè)學(xué)派培養(yǎng)出不少數(shù)學(xué)家，如歐多克索斯就曾就學(xué)于柏拉圖，他創(chuàng)立了比例論，是歐幾里得的前驅(qū)。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德也是古代的大哲學(xué)家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學(xué)整理在嚴(yán)密的邏輯體系之中開(kāi)辟了道路。這個(gè)時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)中心還有以芝諾為代表的埃利亞學(xué)派，他提出四個(gè)悖論，給學(xué)術(shù)界以極大的震動(dòng)。這四個(gè)悖論是：二分說(shuō)，一物從甲地到乙地，永遠(yuǎn)不能到達(dá)。因?yàn)橄霃募椎揭?，首先要通過(guò)道路的一半，但要通過(guò)這一半，必須先通過(guò)一半的一半，這樣分下去，永無(wú)止境。結(jié)論是此物的運(yùn)動(dòng)被道路的無(wú)限分割阻礙著，根本不能前進(jìn)一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龜說(shuō)，阿基琉斯追烏龜，永遠(yuǎn)追不上。因?yàn)楫?dāng)他追到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)時(shí)，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠(yuǎn)重復(fù)下去，總也追不上；飛箭靜止說(shuō)，每一瞬間箭總在一個(gè)確定的位置上，因此它是不動(dòng)的；運(yùn)動(dòng)場(chǎng)問(wèn)題，芝諾論證了時(shí)間和它的一半相等。以德謨克利特為代表的原子論學(xué)派，認(rèn)為線段、面積和立體，是由許多不可再分的原子所構(gòu)成。計(jì)算面積和體積，等于將這些原子集合起來(lái)。這種不甚嚴(yán)格的推理方法卻是古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的重要線索。第4章 埃及數(shù)學(xué)課時(shí)：2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：了解解析數(shù)學(xué)發(fā)展的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件的意義。教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：埃及數(shù)學(xué)顯著變化埃及古代數(shù)學(xué)埃及是世界上文化發(fā)達(dá)最早的幾個(gè)地區(qū)之一，位于尼羅河兩岸，公元前3200年 6 左右，形成一個(gè)統(tǒng)一的國(guó)家。尼羅河定期泛濫，淹沒(méi)全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面積。由于這種需要，多年積累起來(lái)的測(cè)地知識(shí)便逐漸發(fā)展成為幾何學(xué)。公元前2900年以后，埃及人建造了許多金字塔，作為法老的墳?zāi)?。從金字塔的結(jié)構(gòu)，可知當(dāng)時(shí)埃及人已懂得不少天文和幾何的知識(shí)。例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊同正北的偏差都非常小?，F(xiàn)今對(duì)古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，主要根據(jù)兩卷用僧侶文寫(xiě)成的紙草書(shū)；一卷藏在倫敦，叫做萊因德紙草書(shū)，一卷藏在莫斯科。埃及最古老的文字是象形文字，后來(lái)演變成一種較簡(jiǎn)單的書(shū)寫(xiě)體，通常叫僧侶文。除了這兩卷紙草書(shū)外，還有一些寫(xiě)在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木頭上的史料，藏于世界各地。兩卷紙草書(shū)的年代在公元前1850～前1650年之間，相當(dāng)于中國(guó)的夏代。埃及很早就用十進(jìn)記數(shù)法，但卻不知道位值制，每一個(gè)較高的單位是用特殊的符號(hào)來(lái)表示的。例如111，象形文字寫(xiě)成三個(gè)不同的字符，而不是將 1重復(fù)三次。埃及算術(shù)主要是加法，而乘法是加法的重復(fù)。他們能解決一些一元一次方程的問(wèn)題，并有等差、等比數(shù)列的初步知識(shí)。占特別重要地位的是分?jǐn)?shù)算法，即把所有分?jǐn)?shù)都化成單位分?jǐn)?shù)(即分子是1的分?jǐn)?shù))的和。萊因德紙草書(shū)用很大的篇幅來(lái)記載2/N(N從5到101)型的分?jǐn)?shù)分解成單位分?jǐn)?shù)的結(jié)果。為什么要這樣分解以及用什么方法去分解，到現(xiàn)在還是一個(gè)謎。這種繁雜的分?jǐn)?shù)算法實(shí)際上阻礙了算術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。紙草書(shū)還給出圓面積的計(jì)算方法：將直徑減去它的1/9之后再平方。，不過(guò)他們并沒(méi)有圓周率這個(gè)概念。根據(jù)莫斯科紙草書(shū)，推測(cè)他們也許知道正四棱臺(tái)體積的計(jì)算方法。總之，古代埃及人積累了一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，但還沒(méi)有上升為系統(tǒng)的理論。第5章 中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)課時(shí)：2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：了解解析數(shù)學(xué)發(fā)展的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件的意義。教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)顯著變化5．歐洲中世紀(jì)數(shù)學(xué)中世紀(jì)開(kāi)始于公元476年西羅馬帝國(guó)滅亡，約結(jié)束于15世紀(jì)。這一千年的歷史大致可以分為兩段。十一世紀(jì)之前常稱(chēng)為黑暗時(shí)代，這時(shí)西歐在基督教神學(xué)和煩瑣哲學(xué)的教條統(tǒng)治下，人們失去了思想自由，生產(chǎn)墨守成規(guī)，技術(shù)進(jìn)步緩慢，數(shù)學(xué)停滯不 7 前。十一世紀(jì)以后情況稍有好轉(zhuǎn)。希臘文化通過(guò)羅馬人傳到中世紀(jì)的很少，這大部分體現(xiàn)在博伊西斯(約480～524)的著作中。他的《算術(shù)原理》大體上是新畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼科馬霍斯《算術(shù)入門(mén)》的譯本，但若干精采的命題均被刪去。博伊西斯的《幾何》取材于歐幾里得《幾何原本》，但卻完全沒(méi)有證明，因?yàn)樗J(rèn)為證明是多余的。公元529年，東羅馬帝國(guó)皇帝查士丁尼勒令關(guān)閉雅典的學(xué)校，嚴(yán)禁研究和傳播數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)發(fā)展再一次受到沉重的打擊。此后數(shù)百年，值得稱(chēng)道的數(shù)學(xué)家屈指可數(shù)，而且多是神職人員。號(hào)稱(chēng)博學(xué)多才的比德是英國(guó)的僧侶學(xué)者，終生在修道院度過(guò)。他的本領(lǐng)是會(huì)算復(fù)活節(jié)(每年過(guò)春分月圓后的第一個(gè)星期日)的日期，和用手指來(lái)計(jì)算。稍后的阿爾昆也是著名的英國(guó)神學(xué)家。781年左右，接受查理曼大帝的聘請(qǐng)，到法蘭克王國(guó)擔(dān)任宮廷教師和顧問(wèn)。他所編的算術(shù)書(shū)，現(xiàn)在看來(lái)是相當(dāng)粗淺的。熱爾貝原是蘭斯的大主教，后被選為教皇，改名西爾威斯特二世。他熱心提倡學(xué)術(shù)，對(duì)推動(dòng)“四藝”(音樂(lè)、幾何、算術(shù)、天文)的學(xué)習(xí)有一定的功勞。十字軍遠(yuǎn)征(1096～1291)使歐洲人接觸到阿拉伯國(guó)家所保有古代文化寶藏。他們將大量的阿拉伯文書(shū)籍譯成拉丁文。于是希臘、印度和阿拉伯人創(chuàng)造的文化，還有中國(guó)的四大發(fā)明便傳到了歐洲。意大利地處東西方交通的要沖，逐漸成為新的經(jīng)濟(jì)和文化中心。113世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)界的代表人物是斐波那契，他向歐洲人介紹了印度阿拉伯?dāng)?shù)碼和位值制記數(shù)法，以及各種算法在商業(yè)上的應(yīng)用。中國(guó)的盈不足術(shù)和《孫子算經(jīng)》的不定方程解法也出現(xiàn)在斐波那契的書(shū)中。此外他還有很多獨(dú)創(chuàng)性的工作。14世紀(jì)的法國(guó)主教奧爾斯姆引入了分指數(shù)記法和坐標(biāo)制的思想，后者是從天文、地理的 經(jīng)緯度到近代坐標(biāo)幾何的過(guò)渡。英國(guó)大主教布雷德沃丁的算術(shù)、幾何、力學(xué)的著作影響也很大。歐洲第一本系統(tǒng)的三角學(xué)作者是雷格蒙塔努斯。文藝復(fù)興以后，人類(lèi)擺脫了中世紀(jì)束縛思想的精神枷鎖，迎接了一個(gè)新時(shí)代的到來(lái)。十六、十七世紀(jì)數(shù)學(xué) 117世紀(jì)的歐洲，漫長(zhǎng)的中世紀(jì)已經(jīng)結(jié)束，文藝復(fù)興帶來(lái)了人們的覺(jué)醒，束縛人們思想自由發(fā)展的煩瑣哲學(xué)和神學(xué)的教條權(quán)威逐步被摧毀了。封建社會(huì)開(kāi)始解體，代之而起的是資本主義社會(huì)，生產(chǎn)力大大解放。資本主義工場(chǎng)手工業(yè)的繁榮和向機(jī)器生產(chǎn)的過(guò)渡，促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速發(fā)展。例如在航海方面，為了確定船只的位置，要求更加精密的天文觀測(cè)。軍事方面，彈道學(xué)成為研究的中心課題。準(zhǔn)確時(shí)計(jì)的制造，運(yùn)河的開(kāi)鑿，堤壩的修筑，行星的橢圓軌道理論等等，也都需要很多復(fù)雜的計(jì)算。古希臘以來(lái)的初等數(shù)學(xué)，已漸漸不能滿足當(dāng)時(shí)的需要了。在科學(xué)史上，這一時(shí)期出現(xiàn)了許多重大的事件，向數(shù)學(xué)提出新的課題。首先是哥白尼提出地動(dòng)說(shuō)，使神學(xué)的重要理論支柱的地心說(shuō)發(fā)生了根本的動(dòng)搖。他的弟子雷蒂庫(kù)斯見(jiàn)到當(dāng)時(shí)天文觀測(cè)日益精密，推算詳細(xì)的三角函數(shù)表已成為刻不容緩的事，于是開(kāi)始制作每隔10的正弦、正切及正割表。當(dāng)時(shí)全憑手算，雷蒂庫(kù)斯和他的助手勤奮 8 工作達(dá)12年之久，直到死后才由他的弟子奧托完成。16世紀(jì)下半葉，丹麥天文學(xué)家第谷進(jìn)行了大量精密的天文觀測(cè)，在這個(gè)基