1912函數的圖象教案(編輯修改稿)
2024-11-12 18:04 本頁面
【文章內容簡介】 a． 14．解：函數f(x)=x+ax+b的定義域為(165。,b)U(b,+165。)f(x)在(165。,b)內是減函數，f(x)在(b,+165。)內也是減函數證明f(x)在(b,+165。)內是減函數取x1,x2206。(b,+165。)，且x1x2，那么x1+ax1+bx2+ax2+bf(x1)f(x2)==(ab)(x2x1)(x1+b)(x2+b)∵ab0,x2x10,(x1+b)(x2+b)0 ∴f(x1)f(x2)0 即f(x)在(b,+165。)內是減函數，同理可證f(x)在(165。,b)內是減函數。淺 說 函 數 的 對 稱 性函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美。本文擬通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來探討函數與對稱有關的性質。一、函數自身的對稱性探究 y = f(x)的圖像關于點A(a ,b)對稱的充要條件是f(x)+ f(2a－x)= 2b證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f(x)圖像上任一點，∵點P(x ,y)關于點A(a ,b)的對稱點P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)圖像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得證。（充分性）設點P(x0,y0)是y = f(x)圖像上任一點，則y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0)。故點P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)圖像上，而點P與點P‘關于點A(a ,b)對稱，充分性得征。推論：函數 y = f(x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f(x)+ f(－x)= 0 y = f(x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（證明留給讀者）推論：函數 y = f(x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f(x)= f(－x)定理3.①若函數y = f(x)圖像同時關于點A(a ,c)和點B(b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期。②若函數y = f(x)圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期。③若函數y = f(x)圖像既關于點A(a ,c)成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期。①②的證明留給讀者，以下給出③的證明： ∵函數y = f(x)圖像既關于點A(a ,c)成中心對稱，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函數y = f(x)圖像直線x =b成軸對稱，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期。二、不同函數對稱性的探究 = f(x)與y = 2b－f(2a－x)的圖像關于點A(a ,b)成中心對稱。定理5.①函數y = f(x)與y = f(2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。②函數y = f(x)與a－x = f(a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。③函數y = f(x)與x－a = f(y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱。定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③設點P(x0 ,y0)是y = f(x)圖像上任一點，則y0 = f(x0)。記點P(x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為P‘（x1，y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴點P（x1，y1）在函數x－a = f(y + a)的圖像上。同理可證：函數x－a = f(y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數y = f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。推論：函數y = f(x)的圖像與x = f(y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。三、函數對稱性應用舉例例1：定義在R上的非常數函數滿足：f(10+x)為偶函數，且f(5－x)= f(5+x),則f(x)一定是（）（第十二屆希望杯高二 第二試題）(A)是偶函數，也是周期函數(C)是奇函數，也是周期函數(B)是偶函數，但不是周期函數(D)是奇函數，但不是周期函數‘解：∵f(10+x)為偶函數，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x
規(guī)章制度相關推薦
鄂ICP備17016276號-1