【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。根據(jù)上述精神，筆者具體做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一俱現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題，逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性7問題時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。解決這兩個(gè)問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算器對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。證明時(shí)，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生明確以下兩點(diǎn)：一是證明的起點(diǎn)AC＋CB＝AB；二是如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，同時(shí)將三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只有兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式，以揭示引入單位向量j和使用向量的數(shù)量積運(yùn)算的合理性。④由學(xué)生獨(dú)立使用已證明的結(jié)論去解決②中所提出的問題。二、教學(xué)過程設(shè)置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d＝1km。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度｜v 1｜＝5km/ h，水流速度｜v 2｜＝3km/ h。提出問題師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。待各小組將題紙交給老師后，老師篩選了幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問題：⑴船應(yīng)開往B處還是C處？⑵船從A開到B、C分別需要多少時(shí)間？⑶船從A到B、C的距離分別是多少？⑷船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？⑸船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？師：大家講座一下，應(yīng)該怎樣解決上述問題？大家經(jīng)過討論達(dá)成如下共識(shí)：要回答問題⑴，需要解決問題⑵，要解決問題⑵，需要先解決問題⑶和⑷，問題用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問題⑷，問題⑷與問題⑸是兩個(gè)相關(guān)問題。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題⑷和⑸。師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生1：般從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水中的速度大?。黺｜及v 1與v 2的夾角θ：＝｜v1｜＝5，｜DE｜＝｜AF｜＝｜v2｜＝3，易求得∠AED＝∠EAF＝45176。，還需求 及v。我不知道怎樣解這兩個(gè)問題，因?yàn)橐郧皬奈唇膺^類似的問題。師：請(qǐng)大家想一下，這兩個(gè)問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。師：請(qǐng)大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問題？生3：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對(duì)角這四個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對(duì)角。生4：如果另一邊的對(duì)角已經(jīng)求出，那么第三個(gè)角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對(duì)角這四個(gè)元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。生5：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個(gè)角這四個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對(duì)角。師：同學(xué)們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對(duì)角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個(gè)角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個(gè)問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？解決問題師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時(shí)，是怎樣處理的？眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。師：如圖4，請(qǐng)各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對(duì)角這四個(gè)元素間有什么關(guān)系？多數(shù)小組很快得出結(jié)論：眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。師：這是個(gè)好主意。請(qǐng)每個(gè)小組任意做出一個(gè)非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長(zhǎng)和各角的大小，用計(jì)算器作為計(jì)算工具，具體檢驗(yàn)一下，然后報(bào)告檢驗(yàn)結(jié)果。幾分鐘后，多數(shù)小組報(bào)告結(jié)論成立，只有一個(gè)小組合 因測(cè)量和計(jì)算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出：此關(guān)系式在任意△ABC中都能成立，請(qǐng)大家先考慮一下證明思路。生6：想法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。生7：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)先找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：①三角形的面積不變；②三角形同一邊上的高不變；③三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這3種關(guān)系作為基礎(chǔ)得出了如下三種證法：證法一：如圖5，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有AD＝bsin∠BCA，BE＝csin∠CAB，CF＝asin∠ABC。所以S△ABC＝abcsin∠BCA＝bcsin∠CAB＝casin∠：如圖5，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有AD＝bsin∠BCA＝csin∠ABC，BE＝asin∠BCA＝csin∠CAB。證法三：如圖6，設(shè)CD＝2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC＝90176。，∠ABC＝∠ADC。師：據(jù)我所知，從AC＋CB＝AB出發(fā)，也能證得結(jié)論，請(qǐng)大家討論一下。生8：要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。生9：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。生10：還要想辦法將有三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。生11：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個(gè)與三個(gè)向量中的一個(gè)向量（如向量AC）垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。師：請(qǐng)大家具體試一下，看還有什么問題？眾學(xué)生：向量j與AB、CB的夾角與△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形有關(guān)，所以應(yīng)分兩類情況分別證明。教師讓學(xué)生通過小組代表作完成了如下證明。語法四：如圖7，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因?yàn)锳B＝AC＋CB，所以 jAB＝j(luò)（AC＋CB）＝j(luò)AC＋jAC＝0，jCB＝| j ||CB|cos（90176。－∠C）＝asinC，jAB＝| j ||AB|cos（90176。－∠A）＝csinA.反思應(yīng)用師：同學(xué)們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對(duì)角的關(guān)系，請(qǐng)大家考慮一下，正弦定理能夠解決哪些問題？眾生：知三求一，即已知三角形的兩邊與一邊的對(duì)角，可求另一邊的對(duì)角；已知三角形的兩角與一角的對(duì)邊，可求另一角的對(duì)邊；已知三角形中兩邊與它們的對(duì)角四個(gè)元素中的兩個(gè)元素，可研究另外兩個(gè)元素的關(guān)系。師：請(qǐng)同學(xué)們用正弦定