【文章內(nèi)容簡介】 83。16 6 參考文獻(xiàn)16第 2 頁1引言余弦定理的證明及推廣應(yīng)用的發(fā)展歷程在三角函數(shù)、立體幾何等數(shù)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)凸顯出巨大的潛在價(jià)值，關(guān)于它的研究，已有許多獨(dú)特而新穎的碩果。余弦定理通常應(yīng)用于三角問題、函數(shù)問題、幾何問題及數(shù)理天文學(xué)問題等方面的求解，國內(nèi)和國外的研究各有其獨(dú)到之處?，F(xiàn)有對(duì)余弦定理的證明方法的探討及推廣應(yīng)用，體現(xiàn)了其重要性和應(yīng)用的廣泛性，如：余弦定理證明在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)分析、立體幾何中的應(yīng)用等等。但是針對(duì)余弦定理在應(yīng)用中存在的局限性，是否能探究余弦定理的新的證明方法，并將其做相應(yīng)的推廣應(yīng)用來解決相關(guān)問題，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，漫談了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代數(shù)與幾何中的新的證明，分別給出了不同形式的余弦定理新的證明方法，并對(duì)其做出了相應(yīng)的推廣應(yīng)用， 文獻(xiàn)綜述國外對(duì)余弦定理的研究主要是應(yīng)用于解決數(shù)理天文學(xué)和其他學(xué)科如測量學(xué)與地理學(xué)方面的問題，《天文論著》（又名《星的科學(xué)》）被普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，哥白尼、第谷、開普勒、如正弦、余弦、正切、余切[1]；發(fā)現(xiàn)球面三角形余弦定理cosa=cosbcosc+sinbsinccosA，繼而為平面三角形的重要定理—— 正弦定理和余弦定理的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)，其證明的思想方法具有一定新穎性,國內(nèi)有關(guān)余弦定理的理論從國外引進(jìn)，在立體幾何、雙曲平面上以及現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)揮了重要的作用，國內(nèi)余弦定理很少談及學(xué)科領(lǐng)域的相關(guān)證明問題，但相關(guān)的應(yīng)用有一定發(fā)展。如：王書在其編寫的數(shù)學(xué)解題方法與技能中較詳細(xì)地闡述了利用三角法進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘方計(jì)算，先把復(fù)數(shù)寫成三角函數(shù)式后，角按公式[r(cosb+sinb)]n=rn(cosnb+sinnb)（n是正整數(shù)）計(jì)算比較容易；劉鴻坤、曾容、李大元等編著的中、美歷屆數(shù)學(xué)競賽試題精編第三十二屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題（1981年）中的第24題的應(yīng)用，將超越方程利用三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)形式求解，第 3 頁上述文獻(xiàn)中已給出了余弦定理相關(guān)的探討和應(yīng)用，說明了余弦定理的重要性和應(yīng)用的廣泛性，,而且很多研究問題及結(jié)論有很好的借鑒價(jià)值,可以作為研究的理論基礎(chǔ)；而國外,更多的研究主要在于將余弦定理應(yīng)用于解決前沿學(xué)科（如數(shù)理天文學(xué)、歷法、航海等），從而提高余弦定理在理論研究中的有效性，鑒于國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，一般的余弦定理的證明不僅只能解決前沿學(xué)科中的數(shù)理問題，而且該定理在證明運(yùn)用中有一定的局限性，那么能否弱化余弦定理的局限性，拓寬余弦定理的證明方法的范圍，或者將余弦定理新的證明進(jìn)行推廣對(duì)教學(xué)方法的啟示，從而體現(xiàn)余弦定理新的證明的優(yōu)越性和應(yīng)用的廣泛性， 余弦定理的數(shù)學(xué)思想史略“三角學(xué)”原意是三角形測量,也就是解三角形，, 發(fā)展為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)科目.[2]三角學(xué)的發(fā)展和天文學(xué)、幾何學(xué)有著不可分割的關(guān)系，國外對(duì)三角學(xué)的研究的起源是計(jì)算數(shù)理天文學(xué)方面的精確問題。而正、余弦定理是三角學(xué)建立的基礎(chǔ)，三角學(xué)的確立是以正、余弦定理為標(biāo)志，因?yàn)槿菍W(xué)是尋求邊與角的關(guān)系來解決三角問題, 正、到以歐拉的《無窮小分析引論》為代表的過程，標(biāo)志著三角學(xué)從研究三角形解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯咳呛瘮?shù)及其應(yīng)用的一個(gè)分析學(xué)的分支。希臘三角學(xué)起源于天文學(xué)的定量研究,由于球面幾何方面的研究的需要，從而球面三角學(xué)便開始萌芽。隨著生產(chǎn)不斷進(jìn)步,為了修訂歷法、航海和研究地理, 需要建立定量的天文學(xué), 、托勒密和梅內(nèi)勞斯, ，阿拉伯人繼承并推進(jìn)了希臘的三角術(shù)，其學(xué)術(shù)主要來源于印度的《蘇利耶歷數(shù)全書》等天文歷表，以及希臘希臘托勒玫的《大成》、梅內(nèi)勞斯的《球面學(xué)》等古典著作。阿拉伯三角學(xué)是在印度天文名著的基礎(chǔ)上發(fā)展的, 揭示了三角量的性質(zhì)及其關(guān)系, 給出了平面三角形和球面三角形的全部解法, 。、《論四邊形》著作的基礎(chǔ)上研究的, 將平面三角、球面幾何和球面三角有機(jī)地結(jié)合起來, 制定更精確的三角函數(shù)表,以至于我們現(xiàn)今仍在使用, 使三角學(xué)進(jìn)一步系統(tǒng)化, 成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支, , 、雷提卡斯、 余弦定理的由來第 4 頁平面三角的余弦定理是在歐幾里得的《原本》中間接地提出來,平面三角的余弦定理的確立和運(yùn)用是隨航海學(xué)和地理學(xué)的發(fā)展, 而平面三角學(xué)是在球面三角學(xué)的研究的基礎(chǔ)上提出的。隨著測量耕種土地的面積、測量長度與測量方位及歷法和航海發(fā)展等實(shí)際的需要，希臘三角學(xué)（球面三角學(xué)）中包括平面三角的基礎(chǔ)內(nèi)容,平面三角的重要定理——:圖 1 分析：如圖1，△ABC三邊CB、CA、AB長度為a、b、c，首先將斜三角形分割成兩個(gè)直角三角形,：在RtDBCD和RtDABD中，根據(jù)勾股定理222 Q p2=a2d2，p=c(bd)22222p=ad=c(bd)\即c2=a2+b22bd(1)在RtDBCD中，Qd=acos208。C(2)將（2）帶入（1）中，\c2=a2+, 利用平面三角的知識(shí)來證明球面余弦定理, 他的方法是通過作出斜三角形某一個(gè)邊上的高之后, 將問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形的解,，:a=(b+ccosA)+csinA..韋達(dá)在1593年給出了平面三角的余弦定理2ab1=2220的下述形式:a+bcsin(90C).期內(nèi)爾在1627年給出了平面三角的余弦定理的2ab1=.22下述形式:c(ab)1cosC[3]4余弦定理及其新的證明余弦定理的證明是運(yùn)用“向量相乘”的方法進(jìn)行的，其可化復(fù)雜為簡便，其是向量式與數(shù)量式之間相互轉(zhuǎn)化的常用方法。余弦定理的結(jié)論及其證明如下：第 5 頁在△ABC中，AB、BC、CA的長為c、a、b，=a2+分析：因?yàn)锳C+CB=AB,所以可從以下兩方向入手，：(AC+CB).(AC+CB)=，由此可推出余弦定理，三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積得兩倍。即236。a2=b2+c22bccos208。A[4]239。222b=a+=a2+b22abcos208。C238。證明：Q(AC+CB)(AC+CB)=，且AB=c、AC=b、CB=a\++=+CB+(p208。C)=AB\b2+a22bacos208。C=c2即c2=a2+推論:(AC+CB).AB=,可推出平面三角的射影定理，即236。a=bcosC+ccosB[5]239。 射影定理237。b=ccosA+=acosB+bcosA238。 證明：Q(AC+CB).AB=,AB=c、CB=a、AC=b.\+=\+=AB即bccos208。A+accos208。B=c2\bcos208。A+acos208。B=c即c=acos208。B+余弦定理可解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：一類是已知兩邊和它們的夾角，求解三角形；另一類是已知三邊，求解三角形。已知三角形的兩邊和其中一第 6 頁邊的對(duì)角，因?yàn)樗粷M足三角形全等的條件，故可能有兩解、一解、甚至無解，用正弦定理求解心里不踏實(shí)；用余弦定理求解則只要看相應(yīng)的一元二次方程是否有兩正數(shù)解、一正數(shù)解或無正數(shù)解即可。余弦定理可以用于求值、求角或角的范圍、用于化簡、判斷三角形的形狀、用于證明三角不等式、用于研究函數(shù)的性質(zhì)或用于研究函數(shù)的最值等等。在平面三角形中, 對(duì)于余弦定理這樣的基本結(jié)果, 我們總是能夠從不同的角度來理解它, ：圖分析： ： 在RtDACD中,AC=b、AB=c、BC=a(圖 3).QAD=bsinC,CD=bcosC,BC=a,AD^BC\BD=BCCD,即BD=abcosC在RtDABD中,根據(jù)勾股定理，\AB2=AD2+BD2,即c2=(bsinC)2+(abcosC)2 整理得c2=a2+：在RtDACD中，AC=b,208。ACD=p208。C(圖 4).\CD=bcos208。ACD,AD=bcos208。ACD,即CD=bcos(p208。C),AD=bsin(p208。C)\CD=bcos208。C,AD=bsin208。C在RtDABD中，根據(jù)勾股定理，QBD=BC+CD,AB2=AD2+BD2 \c2=(bsin208。C)2+(abcos208。C)2 整理得c2=a2+ 7 頁方法二：：圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于兩對(duì)角線的乘積, 這就是有名的Ptolemy定理，即AB39。.CB+39。B=B39。證明：在△ABC的外接圓里,取AB39。=CB,且BC=a，QAB=CB39。=a\DABC@DCB39。A，則BC=BA=c39。又QBB39。=b+2acos(pC),根據(jù)Ptolemy定理2pC)=a2+b22abcosC \ c==++2acos(即c2=a2+b22abcosC方法三： 6圖 7分析：如圖6和圖7,以B為圓心,以a為半徑畫圓,=..其中圓的半徑為a，AB=c，AC=：在圖6里, QAB=c,BD=BC=BE=a,AD=AB+BD,CF=2acosC\AD=a+c,AE=ac,AF=CFCA=2acosCb，=.\(a+c)(ac)=(2acosCb).b,即c=a+ 證明二：在圖7里, QAB=c,BD=BC=BE=BF=a,AD=AB+BD,AF=AC+CF第 8 頁\DBCF是等腰三角形，有CF=2cos(pC),AD=c+a,AE=ca AF=AC+CF=b+2acos(pC)==(c+a)(ca)=(b2acosC).b,即c=a+b2abcosC.\角勾股定理與角余弦定理是勾股定理和余弦定理與之相對(duì)應(yīng)的角形式，它們有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)給出如下證明與應(yīng)用舉例：定理1：若A、B、C構(gòu)成一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則sin2A=sin2B+sin2C2sinBsinCcosAsin2B=sin2A+sin2C2sinAsinCcosBsin2C=sin2A+sin2B2sinAsinBcosC（4）證明：在DABC中,設(shè)208。A、208。B、208。C所對(duì)的邊為a、b、 Q余弦定理為a=b+c2bccosA(5)根據(jù)“正弦定理”，有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(6)(6)分別代入5），即(2RsinA)2=(2RsinB)2+(2RsinC)22(2RsinB)(2RsinC)cosA\sin2A=sin2B+sin2C2sinBsinCcosA，證畢.（4）：當(dāng)上述公式中的A、B、C為任意角時(shí), 應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為銳角a、b和g的三角函數(shù),若滿足條件:a+b+g=1800，定理仍成立。由定理2和引伸,我們又有如下的推論: p 推論1：若a=+bg，則sin2a=cos2b+：已知a=+bg，sin2a=cos2b+sin2g2cosbsingcosa2pp只需證明sin2a=sin2(b)+sin2g2sin(b)singcosa即可22pQa=+bg