【正文】 本文從不同角度探究、驗證了余弦定理的不同證明方法，列舉了其運(yùn)用在化簡求值、證明三角不等式、研究函數(shù)的性質(zhì)或用于研究函數(shù)的最值等方面的簡潔美，弱化原有余弦定理證明方法的局限性，給出了其相應(yīng)的推廣及定理，拓寬了余弦定理的運(yùn)用范圍，使得在處理三角、函數(shù)等問題時更加方便實用， 啟示通過探討余弦定理及其推廣，體現(xiàn)了一定的優(yōu)越性和實用性。問題是若能將余弦定理引到其它數(shù)學(xué)分支中做應(yīng)用，如：針對運(yùn)籌學(xué)中的最優(yōu)線性模型的相關(guān)問題、數(shù)學(xué)模型中規(guī)劃模型的相關(guān)問題、復(fù)變函數(shù)中的相關(guān)問題等，將更好地體現(xiàn)余弦定理證明及其應(yīng)用的廣泛性， 17 頁 局限性對于余弦定理的相關(guān)定理及其推廣與應(yīng)用，針對余弦定理的論證性較強(qiáng)，在運(yùn)用中存在一定的局限性，相應(yīng)的弱化了余弦定理的效能，使局限性弱化后的余弦定理在處理三角、函數(shù)等有關(guān)問題時，若能進(jìn)一步將弱化后的余弦定理引到其他數(shù)學(xué)分支中做應(yīng)用，如：數(shù)學(xué)模型中規(guī)劃模型的相關(guān)問題、復(fù)變函數(shù)中的相關(guān)問題等，將更好地體現(xiàn)其研究意義和廣泛應(yīng)用性，對于此問題，限于本人的知識水平有限， 努力方向在已有知識水平及查閱相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，本文對余弦定理及其推廣應(yīng)用的問題作了一定的探討，并通過實例，體現(xiàn)了余弦定理在 ，余弦定理的推廣應(yīng)用有一定局限，今后若能針對不同學(xué)科知識和相關(guān)性質(zhì)，對余弦定理的局限性進(jìn)一步弱化，進(jìn)行合理推廣應(yīng)用，將能更好的促進(jìn)其應(yīng)用的深入研究，這些問題，[1] 李文林．?dāng)?shù)學(xué)史教程[M]．北京：高等教育出版社，2002：119．[2] ［M］．沈陽：遼寧人民教育出版社，1980：175．[3] 陳克剩．“余弦定理和正弦定理”的數(shù)學(xué)思想史略[J]．湖北：數(shù)學(xué)通訊學(xué)報，2004：47． [4] 、余弦定理的證明方法探究[J]．西北成人教育學(xué)報，2002:137． [5] 陳諶本，廖志堅，（I）[J]．廣州師院學(xué)報（自然科學(xué)版），1996:85．[6] 李慧．立體幾何的余弦定理和勾股定理[J]．遼寧：鞍山師范學(xué)院學(xué)報，2003：36． [7] 楊世國．n維正弦定理和余弦定理的新證明[J]．安徽：太原科技大學(xué)學(xué)報，2005：144—145．第 18 頁第二篇：怎么證明余弦定理怎么證明余弦定理證明余弦定理：因為過C作CD垂直于AB，AD=bcosA。所以(cbcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。又因為b^2(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(cx)^2+b^2(bcosA)^2=a^2，所以c^22cbcosA+(bcosA)^2+b^2(bcosA)^2=a^2，所以c^22cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2a^2)/2bc同理cosB=(a^2+c^2b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2c^2)/2ab2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為aBD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c勾股定理可知：AC178。=AD178。+DC178。b178。=(sinB*c)178。+(acosB*c)178。b178。=sin178。B*c178。+a178。+cos178。B*c178。2ac*cosBb178。=(sin178。B+cos178。B)*c178。2ac*cosB+a178。b178。=c178。+a178。2ac*cosB所以，cosB=(c178。+a178。b178。)/2ac2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosAb，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=|AD|=|CB|=a，∠DAC=π∠BCA=πC，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標(biāo)是(acos(πC)，asin(πC))即D點坐標(biāo)是(acosC，asinC),∴AD=(acosC，asinC)而AD=CB∴(acosC，asinC)=(ccosAb，csinA)∴asinC=csinA…………①acosC=ccosAb……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=②得acosC=bccosA，平方得：a2cos2C=b22bccosA+c2cos2A，即a2a2sin2C=b22bccosA+①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+=a2+c22accosB，c2=a2+。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,mc,應(yīng)用余弦定理證明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^24ac*cosB)由b^2=a^2+c^22ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^22b^2，代入上述ma表達(dá)式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2a^2)同理可得：mb=mc=ma=√(c^2+(a/2)^2ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^24ac*cosB)由b^2=a^2+c^22ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^22b^2，代入上述ma表達(dá)式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2a^2)證畢。第三篇：余弦定理證明余弦定理證明在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為aBD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c勾股定理可知：AC178。=AD178。+DC178。b178。=(sinB*c)178。+(acosB*c)178。b178。=sin178。B*c178。+a178。+cos178。B*c178。2ac*cosBb178。=(sin178。B+cos178。B)*c178。2ac*cosB+a178。b178。=c178。+a178。2ac*cosB所以，cosB=(c178。+a178。b178。)/2ac2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosAb，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=|AD|=|CB|=a，∠DAC=π∠BCA=πC，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標(biāo)是(acos(πC)，asin(πC))即D點坐標(biāo)是(acosC，asinC),∴AD=(acosC，asinC)而AD=CB∴(acosC，asinC)=(ccosAb，csinA)∴asinC=csinA…………①acosC=ccosAb……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=②得acosC=bccosA，平方得：a2cos2C=b22bccosA+c2cos2A，即a2a2sin2C=b22bccosA+①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+=a2+c22accosB，c2=a2+。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,mc,應(yīng)用余弦定理證明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^24ac*cosB)由b^2=a^2+c^22ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^22b^2，代入上述ma表達(dá)式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2a^2)同理可得：mb=mc=ma=√(c^2+(a/2)^2ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^24ac*cosB)由b^2=a^2+c^22ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^22b^2，代入上述ma表達(dá)式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2a^2)證畢。第四篇：余弦定理證明過程在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，試根據(jù)b，c，A來表示a。 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB－AD轉(zhuǎn)化為AD，進(jìn)而在Rt△AＤC內(nèi)求解。解：過C作CD⊥AB，垂足為D，則在Rt△CＤB中，根據(jù)勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2cAＤ＋AＤ2∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2cAＤ＋AＤ2＝b2＋c2－2cAＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝bcosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA類似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC第五篇：余弦定理證明過程余弦定理證明過程ma=√(c^2+(a/2)^2ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^24ac*cosB)由b^2=a^2+c^22ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^22b^2，代入上述ma表達(dá)式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2a^2)證畢。2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為aBD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BCBD=acosB*c勾股定理可知：AC178。=AD178。+DC178。b178。=(sinB*c)178。+(acosB*c)178。b178。=sin178。B*c178。+a178。+cos178。B*c178。2ac*cosBb178。=(sin178。B+cos178。B)*c178。2ac*cosB+a178。b178。=c178。+a178。2ac*cosB所以，cosB=(c178。+a178。b178。)/2ac2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosAb，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=|AD|=|CB|=a，∠DAC=π∠BCA=πC，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標(biāo)是(acos(πC)，asin(πC))即D點坐標(biāo)是(acosC，asinC),∴AD=(acosC，asinC)而AD=CB∴(acosC，asinC)=(ccosAb，csinA)∴asinC=csinA…………①acosC=ccosAb……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=②得acosC=bccosA，平方得：a2cos2C=b22bccosA+c2cos2A，即a2a2sin2C=b22bccosA+①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+=a2+c22accosB，c2=a2+。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,mc,應(yīng)用余弦定理證明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^24ac*cosB)由b^2=a^2+c^22ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^22b^2，代入上述ma表達(dá)式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2a^2)同理可得：mb=mc=ma=√(c^2+(a/2)^2ac*cosB)=(1/2)√(4c^2+a^24ac*cosB)由b^2=a^2+c^22ac*cosB得，4ac*cosB=2a^2+2c^22b^2，代入上述ma表達(dá)式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2a^2)證畢。