正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-11-17 22:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =2.由余弦定理，得OM2=OP2+PM22OPPMcos 45176。，得PM24PM+3=0，解得PM=1或PM=3.(2)設(shè)∠POM=α，0176。≤α≤60176。，在△OMP中，由正弦定理，得=，所以O(shè)M=，同理ON=，故S△OMN=OMONsin ∠MON=== ====.因?yàn)?176?！堞痢?0176。，所以30176?！?α+30176?！?50176。.所以當(dāng)α=30176。時(shí)，sin(2α+30176。)取得最大值為1，此時(shí)△OMN的面積取得最小值，即∠POM=30176。時(shí)，△OMN的面積最小，其最小值為84.● 總結(jié)歸納(1)求最值首先選擇適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛樽宰兞浚魟?dòng)點(diǎn)在圓上，則選擇圓心角為自變量，三角形(特別是直角三角形)中常選擇一銳角為自變量，最關(guān)鍵的是列出解析式.(2)若角是自變量，常把解析式化為f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，求得最值.● 題組強(qiáng)化△ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C，則cos C的最小值是 .【答案】【解析】由sin A+sin B=2sin C及正弦定理可得a+b=2c，所以cos C===≥=，當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2，即=時(shí)等號(hào)成立，所以cos C的最小值為.，已知A=2B，則的取值范圍是 .【答案】()【解析】因?yàn)锳+B+C=180176。，A=2B，△ABC為銳角三角形，所以30176。B45176。，所以==2cos B∈().，∠ABC=60176。，AB=200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始 h后，兩車的距離最小.(第3題)【答案】【解析】如圖，設(shè)t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD=80t，BE=50t.因?yàn)锳B=200，所以BD=20080t，問題就轉(zhuǎn)化為求DE最小時(shí)t的值.由余弦定理，得DE2=BD2+BE22BDBEcos 60176。=(20080t)2+2 500t2(20080t)50t=12 900t242 000t+40 =時(shí)，DE最小.4.(2015蘇州調(diào)查)如圖，有兩條相交成60176。角的直路X39。X，Y39。Y，交點(diǎn)為O，甲、乙兩人分別在OX，OY上，甲的起始位置與點(diǎn)O相距3 km，39。的方向、乙沿YY39。的方向同時(shí)以4 km/h的速度步行.(第4題)(1)求甲、乙在起始位置時(shí)兩人之間的距離；(2)設(shè)t h后甲、乙兩人的距離為d(t)，寫出d(t)的表達(dá)式，當(dāng)t為何值時(shí)，甲、乙兩人之間的距離最短?并求出兩人之間的最短距離.【解答】(1)由余弦定理，得起初兩人的距離為=(km).(2)設(shè)t h后兩人的距離為d(t)，則當(dāng)0≤t≤時(shí)，d(t)==；當(dāng)t時(shí)，d(t)==；當(dāng)t≤時(shí)，d(t)==.所以d(t)== (t≥0)，當(dāng)t=時(shí)，兩人的距離最短，且為 km.答：當(dāng)t=時(shí)，兩人的距離最短為 km.1.(2015北京卷)在△ABC中，已知a=3，b=，A=，則角B= .【答案】【解析】由正弦定理，得=，即=，所以sin B=，因?yàn)閎a，所以角B=.2.(2016蘇州期中)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若tan A=2tan B，a2b2=c，則c= .【答案】1【解析】由已知及正、余弦定理知，tan A=2tan B=3a23b2=c2，又a2b2=c，所以c2c=0，解得c=1或c=0(舍去)，故c=1.，先在塔外選擇和塔腳在一條水平直線上的三點(diǎn)C，D，E，測(cè)得仰角分別為θ，2θ，4θ，CD=30 m，DE=10 m，則θ= ，塔高AB= m.【答案】15176?！?5(第3題)【解析】如圖，設(shè)塔腳為B，由題意得∠ADE=2∠ACD=2θ，可知△ACD為等腰三角形，所以AD=30，同理△ADE也是等腰三角形，AE=10，在△ADE中，cos 2θ==，所以2θ=30176。，所以θ=15176。，AB=AEsin 4θ=AEsin 60176。=10=15(m).4.(2015南京、鹽城、徐州二模)如圖，在△ABC中，∠B=60176。，AD=2，AC=，DC=，則AB= .(第4題)【答案】【解析】在△ACD中，因?yàn)锳D=2，AC=，DC=，所以cos ∠ADC==，從而∠ADC=135176。，所以∠ADB=45176。.在△ADB中，=，所以AB==.5.(2015蘇州期末)如圖，某生態(tài)園將三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知角A為120176。，AB，AC的長(zhǎng)度均大于200 m，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆.(第5題)(1)若圍
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