正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2024-11-17 22:01本頁(yè)面
【正文】 0t.因?yàn)锳B=200，所以BD=20080t，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求DE最小時(shí)t的值.由余弦定理，得DE2=BD2+BE22BDB45176。時(shí)，△OMN的面積最小，其最小值為84.● 總結(jié)歸納(1)求最值首先選擇適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛樽宰兞?，若?dòng)點(diǎn)在圓上，則選擇圓心角為自變量，三角形(特別是直角三角形)中常選擇一銳角為自變量，最關(guān)鍵的是列出解析式.(2)若角是自變量，常把解析式化為f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，求得最值.● 題組強(qiáng)化△ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C，則cos C的最小值是 .【答案】【解析】由sin A+sin B=2sin C及正弦定理可得a+b=2c，所以cos C===≥=，當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2，即=時(shí)等號(hào)成立，所以cos C的最小值為.，已知A=2B，則的取值范圍是 .【答案】()【解析】因?yàn)锳+B+C=180176。時(shí)，sin(2α+30176?！?50176。所以30176。在△OMP中，由正弦定理，得=，所以O(shè)M=，同理ON=，故S△OMN=OMONsin ∠MON=== ====.因?yàn)?176。得PM24PM+3=0，解得PM=1或PM=3.(2)設(shè)∠POM=α，0176。問(wèn)：當(dāng)∠POM取何值時(shí)，△OMN的面積最小?并求出面積的最小值. 【思維導(dǎo)圖】【規(guī)范解答】(1)在△OMP中，∠P=45176。+AC，求得A(5+5，55)，C(5+5，5+5)，E，點(diǎn)E到直線BD的距離為d1==1，故乙船有危險(xiǎn)；點(diǎn)E到直線AC的距離為d2=，故甲船沒(méi)有危險(xiǎn).以E為圓心，半徑為的圓截直線BD所得的弦長(zhǎng)為l=2=2，所以乙船遭遇危險(xiǎn)持續(xù)時(shí)間t==(h).答：甲船沒(méi)有危險(xiǎn)，乙船有危險(xiǎn)，且在遭遇危險(xiǎn)開(kāi)始持續(xù) h后脫險(xiǎn). 解三角形中的不等關(guān)系微課9● 典型示例例4 如圖，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90176?？v坐標(biāo)為ABsin 15176。易知直線BD的方程為y=x，E的橫坐標(biāo)為ABcos 15176。在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB22ABADcos 45176。方向且與C相距 n mile處有一個(gè)暗礁E，暗礁E周?chē)?n ：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無(wú)危險(xiǎn)?如果有危險(xiǎn)，從有危險(xiǎn)開(kāi)始多少小時(shí)后能脫離危險(xiǎn)?如無(wú)危險(xiǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.(變式(2))【解答】(1)如圖(2)，連接AD，由題知CD=10，AC=30=10，∠ACD=60176。方向且與A相距10 n mile min到達(dá)C處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60176。OEcos ∠COE=300+300600=100.答：CE的長(zhǎng)為10 m.變式 (2015∠AEB=60176。BC=AB，在△CBO中，求出cos ∠COB，在△CEO中，求CE的長(zhǎng).【解答】(1)設(shè)AB的高度為h m.在△CAB中，因?yàn)椤螦CB=45176?？汕蟮肊B=h.(1)在Rt△ABO中，∠AOB=30176。和60176。蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調(diào))如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以O(shè)為圓心、半徑為10 m的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙囪AB(不計(jì)B離河岸的距離)，且OB的連線恰好與河岸l垂直，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點(diǎn)C，點(diǎn)O和點(diǎn)E處測(cè)得煙囪AB的仰角分別為45176。的B處，12時(shí)40分，該輪船到達(dá)海島正西方5 km的E港口，若該輪船始終勻速前進(jìn)，求該輪船的速度.(變式)【解答】設(shè)∠ABE=θ，船的速度為v km/h，則BC=v，BE=v，在△ABE中，=，即sin θ=.在△ABC中，=，即AC===.在△ACE中，=25+25cos 150176。)==.變式 如圖，某海島上一觀察哨A在上午11時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東60176。sin ∠BAC=.顯然∠ACB為銳角，故cos ∠ACB=，tan ∠ACB=，而θ=∠ACB+30176。即BC==40，故救援船到達(dá)客輪遇險(xiǎn)位置所需時(shí)間為40247。AC相距40 n mile的C處的救援船，救援船立即朝北偏東θ角的方向沿直線CB前往B處救援.(例2(1))(1)若救援船的航行速度為60 n mile/h，求救援船到達(dá)客輪遇險(xiǎn)位置的時(shí)間(≈，結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)求tan θ的值.【思維引導(dǎo)】(1)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系，因此本題的關(guān)鍵是找出圖中的角和邊，利用余弦定理求出BC即可解決；(2)首先利用正弦定理求出sin∠ACB，然后利用同角基本關(guān)系求出tan ∠ACB，再利用兩角和的正切公式即可得出結(jié)果.(例2(2))【解答】(1)如圖(2)，在△ABC中，AB=80，AC=40，∠BAC=120176。且a=，求△ABC的面積.【解答】(
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