正弦定量和余弦定理(編輯修改稿)
2025-08-21 10:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 a2［ sin（ AB） sin（ A+B）］ =b2［ sin（ A+B） sin(AB)］ ∴ 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化為： sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A 【 例 3】思維啟迪∴sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)=0 ∴sin 2 A=sin 2B,由 02A,2B2π 得 2A=2B或 2A=π 2B, 即 A=B或 A= B,∴ △ ABC為等腰或直角三角形 . 方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B=2b2sin Acos B 由正、余弦定理 ,可得 ∴ a2(b2+c2a2)=b2(a2+c2b2) 即 (a2b2)(a2+b2c2)=0 ∴ a=b或 a2+b2=c2 ∴ △ ABC為等腰或直角三角形 . 2?acbcaabbcacbba2222222222 ????? 判斷三角形形狀可通過邊和角兩種途 徑進行判斷 ,應(yīng)根據(jù)題目條件，選用合適的策略： （ 1）若用邊的關(guān)系，則有：若 A為銳角，則 b2+c2 a20。若 A為直角，則 b2+c2a2=0；若 A為鈍角， 則 b2+c2a20. （ 2）利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的 三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得 出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時 要注意應(yīng)用 A+B+C=π 這個結(jié)論 . 探究提高知能遷移 3 在△ ABC中，已知 2sin Acos B= sin C，那么△ ABC一定是（ ） 分析 本題是判定三角形形狀的問題，在解斜 三角形中，這是常見的題型之一 . 解析 方法一 因為在△ ABC中， A+B+C=π ， 即 C=π （ A+B），所以 sin C=sin(A+B). 由 2sin Acos B=sin C, 得 2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 即 sin Acos Bcos Asin B=0,即 sin(AB)=0. 又因為 π ABπ ,所以 AB=0,即 A=B. 所以△ ABC是等腰三角形，故選 B. 方法二 利用正弦定理和余弦定理 2sin Acos B=sin C可化為 即 a2+c2b2=c2,即 a2b2=0, 即 a2=b2,故 a=b. 所以△ ABC是等腰三角形 . 答案 B ,22 222 cac bcaa ????題型四 正、余弦定理的綜合應(yīng)用 (12分 )在△ ABC中， a， b， c分別是 A， B， C 的對邊，且滿足（ 2ac） cos B=bcos C. (1)求角 B的大??； (2)若 b= ,a+c=4,求△ ABC的面積 . (1)用正弦定理 ,將邊用角代換后求解 . (2)用余弦定理 ,配方出現(xiàn) a+b后代換 ,求出 ac即可 . 解題示范 解 （ 1）在△ ABC中，由正弦定理得： a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入 (2ac)cos B=bcos C, 【 例 4】思維啟迪7整理得 2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B, [4分 ] 即 2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 在三角形中， sin A0,2cos B=1, ∵∠ B是三角形的內(nèi)角， ∴ B=60176。 . [6分 ] （ 2）在△ ABC中，由余弦定理得 b2=a2+c22accos B =(a+c)22ac2accos B, [8分 ] 將 b= ,a+c=4代入整理，得 ac=3. [10分 ] 7.4 3360s i n23s i n21 ????? BacS ABC故 [12分 ] 在求角問題中，一般都是用正、余弦定 理將邊化為角 .由三角函數(shù)值求角時，要注意角的 范圍 .在應(yīng)用余弦定理時，要注意配方這一小技 巧，通過配方，使之出現(xiàn)（ a+b） 2或（ ab） 2. 將 a+b或 ab作為一個整體，可以帶來非常好的效果 . 探究提高知能遷移 4 （ 2022 遼寧） 在△ ABC中， 內(nèi)角 A、 B、 C對邊的邊長分別是 a、 b、 c. 已知 c=2, （ 1）若△ ABC的面積等于 ，求 a、 b的值； （ 2）若 sin C+sin(BA)=2sin 2A,求△ ABC的 面積 . 解 (1)由余弦定理及已知條件 ,得 a2+b2ab=4. 又因為△ ABC的面積等于 ， 所以 absin C= ,所以 ab=4. .3??C32133????????????.2,2,4,422baababba 解得聯(lián)立方程組(2)由題意得 si
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