正弦余弦定理證明教案(編輯修改稿)
2025-05-14 04:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ABC中，a，b，c為角A，B，C的對邊，且a+c=2b，AC=,求sinB的值.解法一：由正弦定理和已知條件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB，由和差化積公式得2sincos=2sinB由A+B+C=π，得sin=cos又AC=,得cos=sinB∴cos=2sincos又∵0＜＜,cos≠0∴sin=從而cos==∴sinB==.解法二：由正弦定理和已知條件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB∵AC=,A+B+C=π兩式相減可得B=2C∴sin(+C)+sinC=2sinB得sincosC+cossinC+sinC=2sinB∴cosC+sinC=2sinB即cos(C)=2sinB∴cos=4sincos∵0＜B＜π,∴cos≠0∴sin=cos==∴sinB=cosB=【難題巧解點拔】例1△ABC中，若a=5,b=4,cos(AB)=，求AB.分析：很明顯，只要求cosC的值，應用余弦定理即可求出AB.解法一：由已知條件a=5,b=4===9，①由已知cos(AB)=,根據(jù)半角公式有sin==,cos==代入①式得tg=∵tg=ctg,∴tg=,根據(jù)萬能公式cosC=∴c2=a2+b22abcosC=36,AB=c=6解法二：∵A＞B，如圖，作∠BAD=∠B,∴AD=BD∠CAD=∠A∠B令AD=BD=y,CD=x,由余弦定理cos(AB)==,x=ay,∴=,y=4,x=1△CAD中再由余弦定理cosC=,∴c=6評析：上述解法反映邊向角的轉(zhuǎn)化，也可由角向邊轉(zhuǎn)化直接求出邊.例2半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，且OA=2，B為半圓周上任意一點以AB為邊向形外作等邊三角形ABC(如圖)，問B點在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出這個最大面積.解：設∠AOB=x，則S△AOB=21sinx=sinx,AB2=OA2+OB22OAOBcosx=54cosx.S△ABC=AB2=(54co
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