20xx高中數(shù)學單元訓練不等式的證明(二)(編輯修改稿)
2024-11-05 06:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。6 7 8 9 參考文獻 11江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設計（論文）眾所周知,它在數(shù)學研究與應用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關重要,許多數(shù)學家在這一領域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學習既是重點也是難點,有必要對不等式的證明方法做一個全面的,科學的,【例1】 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x,求證：當x1時,恒有11163。ln(x+1)163。+1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構造函數(shù)11,(x)=ln(x+1)+x+1證:先證左邊,令g(x)=ln(x+1)+111x1, 則g162。(x)= =x+1x+1(x+1)2(x+1)2 當x206。(1,0)時,g162。(x)0。當x206。(0,+165。)時,g162。(x)0 , 即g(x)在x206。(1,0)上為減函數(shù),在x206。(0,+165。)上為增函數(shù),故函數(shù)g(x)在(1,+165。)上的最小值為g(x)min=g(0)=0, ∴當x1時,g(x)179。g(0)=0,即ln(x+1)+11179。0 x+1 ∴ ln(x+1)179。1 再證右邊,f162。(x)=1(左邊得證).x+11x1= x+1x+1 ∴ 當1x0時,f162。(x)0,即f(x)在x206。(1,0)上為增函數(shù), 當x0時,f162。(x)0,即f(x)在x206。(0,+165。)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(1,+165。)上的最大值為f(x)max=f(0)=0, 1江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設計（論文）因此,當x1時f(x)163。f(0)=0,即ln(x+1)x163。0∴ ln(x+1)163。x(右邊得證).綜上可知,當x1時,有11163。ln(x+1)163。x x+1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小（大）值,則有f(x)179。f(a)（或f(x)163。f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 【例2】 當x206。(0,1)時,證明:(1+x)ln(1+x):本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,:做函數(shù)f(x)=(1+x)ln(1+x)x,易得f(0)=0，221+x)2x,當x=0時,f39。(x)=0而f39。(x)=ln(1+x)+2ln(又得,f39。39。(x)=22ln(1+x)22+2=[ln(1+x)x]，1+x1+x1+x 當x206。(0,1)時,f39。39。(x)0∴f39。(x)在x206。(0,1)上遞減,即f39。(x)f39。(0)=0,即f(x)在(0,1)遞減∴f(x)f(0)=0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構造出一個函數(shù)并利用所設函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導數(shù)無法判斷兩個關系,可以采用二階導數(shù)來先判斷一階導數(shù)關系,122163。xxy+y163。163。x+y163。2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x+ 換元法進行嘗試,:因為 1163。 其中1163。2x2+y2163。2,所以可設x=rcosq,y=rsinq，22r2163。2,0163。q ∴xxy+y=rrsin2q=r(1sin2q)江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設計（論文）Q163。1sin2q163。, 222121322 \r163。(1sin2q)r163。r 22232121 而r163。3,r179。 222122163。xxy+y163。3.\2【啟迪】:當發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2+y2,或者別的與x,y有關的不等式,可以采用換,y進行替換,【例4】 若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf162。(x)f(x)恒成立,且常數(shù)a ,b滿足0ab,求證:af(a)xf(x)，162。(x)+f(x)此時可以得到F(x)的導數(shù)為xf \F162。(x)0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)f(b)\af(a)bf(b)Q0ab,\ 得證.【啟迪】：把條件進行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個函數(shù)積的導數(shù),因此可以構造出F(x),【例5】 設a,b,c,d206。R,且滿足(a+b+c)求證:ab+bc+ca2179。2(a2+b2+c2)+4d，179。3d分析:本題初看含有四個未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時必須從這條不等式入手,:把a看成未知量進行化簡,得一元二次不等式+2(b+c)a+(bc)2+4d163。022xaf(x)=x+2(b+c)x+(bc)+4d用替換,構造一個函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上且當x=a時,f(a)163。=4(b+c)4[(bc)+4d]179。0\其判別式 Q江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設計（論文）,c看成未知量,可得ca179。d,ab179。d疊加可得ab+bc+ca179。,得bc179。【啟迪】:有些復雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€未知量之間的關系,【例6】 當abe時,證明a:要證ab,只要證lnababablnba,即證明blnaalnb0, 也就是要證明blnxxlnb,因此構造函數(shù)f(x)=blnxxlnb,然后只需要證明 證:要證ab,只要證lnabaf(x) xblnba即證blnaalnb0設f(x)=blnxxlnb(xbe),則f162。(x)= Qbe,xb \lnb1, \b1\f162。(x)0 xf(x)在(e,+165。)b\f(a)f(b)故blnaalnbblnbblnb=0ba 即blnaalnb \ab.【啟迪】:在證明簡單不等式時,可以采用求導等變換來構造出一些相似的函數(shù),再利用函【例1】 若0x1,證明loga(1x)loga(1+x),(a0,a185。1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a1和0a1兩種情況來考慮:(1)當0a1時,Q01x1,11+x2\loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)+loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x1\loga(1x)0,得證.（2）當a1時,Q01x1,11+x2\ loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)log
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