20xx北師大版中考數(shù)學(xué)第三章第17課二次函數(shù)的綜合應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-01-13 03:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 n ＜ b ( 變式訓(xùn)練 1 題圖解 ) 解析 依題意畫(huà)出函數(shù) y ＝ ( x － a )( x － b ) 圖象草圖 ， 根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解． 依題意 ， 畫(huà)出函數(shù) y ＝ ( x － a )( x － b ) 的 圖象，如解圖所示． 函數(shù)圖象為拋物線 ， 開(kāi)口向上 ， 與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 a ， b ( a＜ b ) ． 方程 1 － ( x － a )( x － b ) ＝ 0 轉(zhuǎn)化為 ( x － a )( x － b ) ＝ 1 ， 方程的兩根是拋物線 y＝ ( x － a )( x － b ) 與直線 y ＝ 1 的 兩個(gè)交點(diǎn)． 由 m ＜ n ， 可知對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 m ， 右側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 n . 由拋物線開(kāi)口向上 ， 則在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè) ， y 隨 x 增大而減少 ， 則有 m ＜ a ；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè) ， y 隨 x 增大而增大 ， 則有 b ＜ n . 綜上所述 ， 可知 m ＜ a ＜ b ＜ n . 答案 A 題型 二 利用二次函數(shù)解決商品銷(xiāo)售問(wèn)題 要點(diǎn)回顧： 二次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題中商品銷(xiāo)售利潤(rùn)等有關(guān)的最大 ( 小 ) 值的實(shí)際問(wèn)題 ， 在解題方法上常用到待定系數(shù)法、配方法、公式法等．在數(shù)學(xué)思想方面同樣體現(xiàn)了函 數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想等． 求二次函數(shù)的表達(dá)式和函數(shù)的最大 ( 小 ) 值是考查重點(diǎn) ， 解題過(guò)程中要注意自變量的取值范圍． 【例 2 】 (2021 武漢 ) 九 (1) 班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查 ， 整理出某種商品在第 x (1 ≤ x ≤ 90) 天的售價(jià)與銷(xiāo)量的相關(guān)信息如下表： 時(shí)間 x ( 天 ) 1 ≤ x ＜ 50 50 ≤ x ≤ 90 售價(jià) ( 元 / 件 ) x ＋ 40 90 每天銷(xiāo)量 ( 件 ) 200 － 2 x 已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件 30 元 ， 設(shè)銷(xiāo)售該商品的每天利潤(rùn)為 y 元． (1) 求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式． (2) 問(wèn)：銷(xiāo)售該 商品第幾天時(shí) ， 當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ (3) 該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中 ， 共有多少天每天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于 4800 元？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果． 解析 (1) 根據(jù)單價(jià)乘數(shù)量 ， 可得利潤(rùn) ， 可得答案 ， 注意分段． (2) 根據(jù)分段函數(shù)的性 質(zhì) ，可分別求出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案． (3) 根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于 4800 ， 一次函數(shù)值大于或等于 48000 ， 可得不等式組 ， 解不等式組可得答案． 答案 (1) 當(dāng) 1 ≤ x ＜ 50 時(shí) ， y ＝ (200 － 2 x )( x ＋ 40 － 30) ＝－ 2 x2＋ 180 x ＋ 2021 ； 當(dāng) 50 ≤ x ≤ 90 時(shí) ， y ＝ (200 － 2 x )(90 － 30) ＝－ 120 x ＋ 12021. 綜上所述 ， y ＝??? － 2 x2＋ 180 x ＋ 2021 （ 1 ≤ x 5 ） ，－ 120 x ＋ 12021 （ 50 ≤ x ≤ 90 ） . (2) 當(dāng) 1 ≤ x ＜ 50 時(shí) ， 二次函數(shù)開(kāi)口下 ， 二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為直線 x ＝ 45 ， 當(dāng)x ＝ 45 時(shí) ， y 最大 ， y 最大 ＝－ 2 452＋ 180 45 ＋ 2021 ＝ 6050( 元 ) ； 當(dāng) 50 ≤ x ≤ 90 時(shí) ， y 隨 x 的增大而 減小 ， 當(dāng) x ＝ 50 時(shí) ， y 最大 ， y 最大 ＝ 6000( 元 ) ． 綜上所述 ， 該商品第 45 天時(shí) ， 當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大 ， 最大利潤(rùn)是 6050 元． (3) 當(dāng) 20 ≤ x ≤ 60 時(shí) ， 每天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于 4800 元． ∴ 共有 41 天． 變式訓(xùn)練 2 (2021 汕尾 ) 九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查 ， 得到某種運(yùn)動(dòng)服每月的銷(xiāo)量與售價(jià)的相關(guān)信息如下表： 售價(jià) ( 元 / 件 ) 100 1 10 120 130 ? 月銷(xiāo)量 ( 件 ) 200 180 160 140 ? 已知該運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為每件 60 元 ， 設(shè)售價(jià)為 x 元． (1) 請(qǐng)用含 x 的式子表示： ① 銷(xiāo)售該運(yùn)動(dòng)服每 件的利潤(rùn)是 ________ 元； ② 月銷(xiāo)量是 ________ 件 ( 直接填寫(xiě)結(jié)果 ) ． (2) 設(shè)銷(xiāo)量該運(yùn)動(dòng)服的月利潤(rùn)為 y 元 ， 那么售價(jià)為多少時(shí) ， 當(dāng)月的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 解析 (1) ① 根據(jù) “ 利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià) ” 得出結(jié)論． ② 根據(jù)所給數(shù)據(jù)猜想月銷(xiāo)量是售價(jià)的一次函數(shù) ， 可設(shè)為 m ＝ kx ＋ b ， 將 (100 ， 200 ) ， (1 10 ， 180 ) 代入 ， 得??? 100 k ＋ b ＝ 200 ，1 10 k ＋ b ＝ 180 ， 解得??? k ＝－ 2 ，b ＝ 400. ∴ m ＝－ 2 x ＋ 400. 將其他各組數(shù)據(jù)代入檢驗(yàn) ， 適合 ， ∴ 月銷(xiāo)量是 ( － 2 x ＋ 400) 件． (2) 根據(jù) “ 利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià) ” 得出 y 關(guān)于的二次函數(shù) ， 應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理求解即可． 答案 (1) ① x － 60 ② － 2 x ＋ 400 (2) 由題意 ， 得 y ＝ ( x － 60) ( － 2 x ＋ 400) ＝－ 2 x2＋ 520 x － 24000 ＝－ 2( x －130)2＋ 9800. 當(dāng) x ＝ 130 時(shí) ， y 有最大值 9800. ∴ 售價(jià)為每件 130 元時(shí) ， 當(dāng)月的利潤(rùn)最大 ， 為 9800 元 . 題型 三 利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問(wèn)題 要點(diǎn)回顧： 構(gòu)造二次函數(shù)來(lái)確定幾何圖形中的有關(guān)面積最大值的問(wèn)題是近年來(lái)?？嫉念}型 ， 求解這類(lèi)問(wèn)題 ， 實(shí)際上 ， 只要我們能充分運(yùn)用條件 ，根據(jù)圖形的特點(diǎn) ， 綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí) ， 如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等來(lái)尋求等量關(guān)系 ， 從而構(gòu)造出二次函數(shù) ， 再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解． 【例 3 】 (2021 安徽 ) 為了節(jié)省材料 ， 某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶(hù)利用水庫(kù)的岸堤 ( 岸堤足夠長(zhǎng) ) 為一邊 ， 用總長(zhǎng)為 80 m 的圍網(wǎng)在水庫(kù)中圍成了如圖所示的 ①②③ 三塊矩形區(qū)域 ， 而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè) BC 的長(zhǎng)度為 x (m) ， 矩形區(qū)域 ABCD的面積為 y (m2) ． (1) 求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 ， 并注明自變量 x 的取值范圍． (2) x 為何值時(shí) ， y 有最大值？最大值是多少？ (例 3 題圖 ) 解析 (1) 根據(jù)三個(gè)矩形面積相等 ， 得到矩形 AE FD 面積是矩形 BCF E面積的 2 倍 ， 可得出 AE ＝ 2 BE ， 設(shè) BE ＝ a ， 則有 AE ＝ 2 a ， 表示出 a 與 2 a ，進(jìn)而表示出 y 與 x 的關(guān)系式 ， 并求出 x 的范圍即可． (2) 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出 y 的最大值 ， 以及此時(shí) x 的值即可． 答案 (1) ∵ 三塊矩形區(qū)域的面積相等 ，
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