20xx北師大版中考數(shù)學(xué)第三章第17課《二次函數(shù)的綜合應(yīng)用》(文件)
【正文】 x 的取值范 圍對解題起決定性 作用 ，在( 1) 中 ， 忽視 x 為整數(shù) ， 致使在 (2) 中產(chǎn)生 “ 當(dāng) x ＝ 時 ， y 最大 ＝ ” 的錯誤． 【正確解答】 (1) y ＝ (210 － 10 x )(50 ＋ x － 40) ＝－ 10 x2＋ 1 10 x ＋ 2100( 0 ＜x ≤ 15 且 x 為整數(shù) ) ． (2) y ＝－ 10( x － )2＋ ， ∵ a ＝－ 10 ＜ 0 ， ∴ 當(dāng) x ＝ 時 ， y 有最大值 . 又 ∵ 0 ＜ x ≤ 15 且 x 為整數(shù) ， 當(dāng) x ＝ 5 時 ， 50 ＋ x ＝ 55 ， y ＝ 2400( 元 ) ；當(dāng) x＝ 6 時 ， 50 ＋ x ＝ 56 ， y ＝ 2400( 元 ) ． ∴ 當(dāng)售價定為每件 55 元或 56 元時 ， 每個月的利潤最大 ， 最大的月利潤是 2400 元． (3) 當(dāng) y ＝ 2200 時 ， － 10 x2＋ 1 10 x ＋ 2100 ＝ 2200 ， 解得 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 10. 當(dāng) x ＝ 1 時 ， 50 ＋ x ＝ 51 ；當(dāng) x ＝ 10 時 ， 50 ＋ x ＝ 60. ∴ 當(dāng)售價定為每件 51 元或 60 元時 ， 每個月的利潤為 2200 元； 當(dāng)售價不低于 51 元且不高于 60 元且為整數(shù)時 ， 每個月的利潤不低于2200 元 ( 或當(dāng)售價分別為 51 ， 52 ， 53 ， 54 ， 55 ， 56 ， 57 ， 58 ， 59 ， 60 元時 ，每個月的利潤不低于 2200 元 ) ． 【解決方案】 應(yīng)用二次函數(shù)求最值時 ， 要注意區(qū)間段內(nèi)求最值的兩種情 況： (1) 頂點在區(qū)間段內(nèi) ， 配方求最值； (2) 頂點在區(qū)間段外 ， 利用圖象觀察增減性求最值． 題型精析 題型 一 二次函數(shù)與一元二次方程 要點回顧： 拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ， 當(dāng) y ＝ 0 時便轉(zhuǎn)化為一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0. (1) 當(dāng)拋物線與 x 軸交于點 ( x1， 0 ) ， ( x2， 0 ) 且 x1 ＜ x2時 ， 一元二次方程ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有兩個不相等的實數(shù)根； x1＝－ b － b2－ 4 ac2 a， x2＝－ b ＋ b2－ 4 ac2 a. (2 ) 當(dāng)拋物線與 x 軸只有一個公共點 ， 即拋物線頂點 ， 為 ( －b2 a， 0 ) ， 此時x1＝ x2＝－b2 a， 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有兩個相等的實數(shù)根． (3) 當(dāng)拋物線與 x 軸無交點 ， 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 沒有實數(shù)根． 【例 1 】 (2021汕尾 ) 九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查 ， 得到某種運動服每月的銷量與售價的相關(guān)信息如下表： 售價 ( 元 / 件 ) 100 1 10 120 130 ? 月銷量 ( 件 ) 200 180 160 140 ? 已知該運動服的進價為每件 60 元 ， 設(shè)售價為 x 元． (1) 請用含 x 的式子表示： ① 銷售該運動服每 件的利潤是 ________ 元； ② 月銷量是 ________ 件 ( 直接填寫結(jié)果 ) ． (2) 設(shè)銷量該運動服的月利潤為 y 元 ， 那么售價為多少時 ， 當(dāng)月的利潤最大？最大利潤是多少？ 解析 (1) ① 根據(jù) “ 利潤＝售價－進價 ” 得出結(jié)論． ② 根據(jù)所給數(shù)據(jù)猜想月銷量是售價的一次函數(shù) ， 可設(shè)為 m ＝ kx ＋ b ， 將 (100 ， 200 ) ， (1 10 ， 180 ) 代入 ， 得??? 100 k ＋ b ＝ 200 ，1 10 k ＋ b ＝ 180 ， 解得??? k ＝－ 2 ，b ＝ 400. ∴ m ＝－ 2 x ＋ 400. 將其他各組數(shù)據(jù)代入檢驗 ， 適合 ， ∴ 月銷量是 ( － 2 x ＋ 400) 件． (2) 根據(jù) “ 利潤＝售價－進價 ” 得出 y 關(guān)于的二次函數(shù) ， 應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理求解即可． 答案 (1) ① x － 60 ② － 2 x ＋ 400 (2) 由題意 ， 得 y ＝ ( x － 60) ( － 2 x ＋ 400) ＝－ 2 x2＋ 520 x － 24000 ＝－ 2( x －130)2＋ 9800. 當(dāng) x ＝ 130 時 ， y 有最大值 9800. ∴ 售價為每件 130 元時 ， 當(dāng)月的利潤最大 ， 為 9800 元 . 題型 三 利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問題 要點回顧： 構(gòu)造二次函數(shù)來確定幾何圖形中的有關(guān)面積最大值的問題是近年來?？嫉念}型 ， 求解這類問題 ， 實際上 ， 只要我們能充分運用條件 ，根據(jù)圖形的特點 ， 綜合運用所學(xué)知識 ， 如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等來尋求等量關(guān)系 ， 從而構(gòu)造出二次函數(shù) ， 再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解． 【例 3 】 (2021 (6 － t ) ＝12 ????????－14t2＋32t ( m ＋ 3) ＝－12m2－32m ＋ 2 ＝－12( m ＋32)2＋258， ∵ a ＝－12＜ 0 ， ∴ 當(dāng) m ＝－32時 ， S 有最大值 ， 為258. 又 ∵ － 3 ＜－32＜ 1 ， ∴△ P AD 的面積的最大值為258. ② 在點 D 運動的過程中 ， 四邊形 P AEC 不能為平行四邊形．理由如下： 當(dāng)點 D 為 AC 的中點時 ， 其坐標(biāo)為 ( － 1 ， 2 ) ， 可得此時點 P 的坐標(biāo)為 (2 ，2 ) ， 點 E 的坐標(biāo)為 ( － 5 ， 2 ) ， ∵ DP ＝ 3 ， DE ＝ 4 ， ∴ EP 與 AC 不能互相平分 ， ∴ 四邊形 P AEC 不能為平行四邊形． 變式訓(xùn)練 4 (2021 AO ＝ 3 ，BO ＝ 2 ， ( 變式訓(xùn)練 3 題圖解 ) 易得點 Q ( t ， 3 ) ， P ( t ，14t2－ 2 t ＋ 3) ， ∵ 當(dāng) y ＝14x2－ 2 x ＋ 3 ＝ 3 時 ， x1＝ 0 ， x2＝ 8. ∴ 分兩種情況： ① 當(dāng) 2 ＜ t ≤ 8 時 ， AQ ＝ t ， PQ ＝－14t2＋ 2 t ， 若 △ AOB ∽△ AQP ， 則AOAQ＝BOPQ， 即3t＝2－14t2＋ 2 t， ∴ t ＝ 0( 舍去 ) 或 t ＝163； 若 △ AOB
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