20xx北師大版中考數(shù)學(xué)第三章第17課二次函數(shù)的綜合應(yīng)用-免費(fèi)閱讀
【正文】 6 ＝－34( t － 3)2＋274， 此時(shí)當(dāng) t ＝ 3 時(shí) ， 有最大值274. ② 當(dāng) 6 ≤ t ≤ 8 時(shí) ， 設(shè)直線 l 與線段 AC 的延長線的交點(diǎn)為 M ， 則點(diǎn) M ( t ，－12t ＋ 3) ， ∵ 點(diǎn) P ( t ，14t2－ 2 t ＋ 3) ， ∴ PM ＝14t2－32t ， ∴ S △APC＝ S △APF－ S △CPF＝12????????14t2－32t t －12????14t2－ ????32t ( t － 6) ＝34t2－92t ＝34( t － 3)2－274， 當(dāng) t ＝ 8 時(shí) ， 取最大值 ， 最大值為 12. 綜上可知 ， 當(dāng) 0 ＜ t ≤ 8 時(shí) ， △ APC 面積的最大值為 12. (3) 存在．如解圖 ， 連結(jié) AB ， 則在 △ AOB 中 ， ∠ AOB ＝ 90 176。 荊州 ) 已知關(guān)于 x 的方程 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 ＝ 0. (1) 求證：無論 k 取任何實(shí)數(shù)時(shí) ， 方程總有 實(shí)數(shù)根． (2) 當(dāng)拋物線 y ＝ kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 圖象與 x 軸兩個(gè)交 點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù) ， 且 k 為正整數(shù)時(shí) ， 若 P ( a ， y 1 ) ， Q (1 ， y 2 ) 是此拋物線上的兩點(diǎn) ， 且 y 1 ＞ y 2 ，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定實(shí)數(shù) a 的取值范圍． (3) 已知拋物線 y ＝ kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 恒過定點(diǎn) ， 求出定點(diǎn)坐標(biāo)． 解析 (1) 分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方 程 兩種情況． 當(dāng)該方程為一元二次方程時(shí) ， 根的判別式 Δ ≥ 0 ， 方程總有實(shí)數(shù)根． (2) 通過解 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 ＝ 0 得到 k ＝ 1 ， 由此得到該拋物線的表達(dá)式為 y ＝ x2＋ 3 x ＋ 2 ， 結(jié)合圖象回答問題 ． (3) 根據(jù)題意得到 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 － y ＝ 0 恒成立 ， 由此列出關(guān)于 x ， y 的方程組 ， 通過解方程組求得該定點(diǎn)坐標(biāo)． 答案 (1) 證明： ① 當(dāng) k ＝ 0 時(shí) ， 方程為 x ＋ 2 ＝ 0 ， 所以 x ＝－ 2 ， 方程有實(shí)數(shù)根； ② 當(dāng) k ≠ 0 時(shí) ， ∵ Δ ＝ ( 2 k ＋ 1)2－ 4 k 2 ＝ (2 k － 1)2≥ 0 ， 即 Δ ≥ 0 ， ∴ 無論 k 取任何實(shí)數(shù)時(shí) ， 方程總有實(shí)數(shù)根． (2) 令 y ＝ 0 ， 則 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 ＝ 0 ， 解關(guān)于 x 的一元二次方程 ， 得 x1＝－ 2 ， x2＝－1k. ∵ 二次函數(shù)的圖象與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù) ， 且 k 為正整數(shù) ， ∴ k ＝ 1. ∴ 該拋物線的表達(dá)式為 y ＝ x2＋ 3 x ＋ 2. 如解圖 ， 由圖象得到：當(dāng) y1＞ y2時(shí) ， a ＞ 1 或 a ＜－ 3. ( 例 1 題圖解 ) (3) 由題意 ， 得 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 － y ＝ 0 恒成立 ， 即 k ( x2＋ 2 x ) ＋ x － y ＋ 2 ＝0 恒成立 ， 則??? x2＋ 2 x ＝ 0 ，x － y ＋ 2 ＝ 0 ， 解得??? x ＝ 0 ，y ＝ 2 ，或??? x ＝－ 2 ，y ＝ 0. ∴ 該拋物線恒過定點(diǎn) (0 ， 2 ) ， ( － 2 ， 0 ) ． 變式訓(xùn)練 1 (2021 濰坊 ) 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 拋物線 y ＝ mx2－8 mx ＋ 4 m ＋ 2( m ＞ 0) 與 y 軸的交點(diǎn)為 A ， 與 x 軸的交點(diǎn)分別為 B ( x1， 0) ， C ( x2，0 ) ， 且 x2－ x1＝ 4 ， 直線 AD ∥ x 軸 ， 在 x 軸上有一動(dòng)點(diǎn) E ( t ， 0 ) ， 過點(diǎn) E 作平行于 y 軸的直線 l 與拋物線、直線 AD 的交點(diǎn)分別為 P ， Q . ( 變式訓(xùn)練 3 題圖 ) (1) 求拋物線的表達(dá)式． (2) 當(dāng) 0 ＜ t ≤ 8 時(shí) ， 求 △ APC 面積的最大值． (3) 當(dāng) t ＞ 2 時(shí) ， 是否存在點(diǎn) P ， 使以 A ， P ， Q 為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB相似？若存在 ， 求出此時(shí) t 的值；若不存在 ， 請(qǐng)說明理由． 解析 (1) 認(rèn)真審題 ， 直接根據(jù)題 意列出方程組 ，求出 B ， C 兩點(diǎn)的坐標(biāo) ， 進(jìn)而可求出拋物線的表達(dá)式． (2) 分 0 ＜ t ＜ 6 時(shí)和 6 ≤ t ≤ 8 時(shí)兩種情況進(jìn)行討論 ， 據(jù)此即可求出三角形的最大值． (3) 分 2 ＜ t ≤ 6 時(shí)和 t ＞ 6 時(shí)兩種情況進(jìn)行討論 ， 再根據(jù)三角形相似的條件 ，即可得解． 答案 (1) 由題意知 x 1 ， x 2 是方程 mx2－ 8 mx ＋ 4 m ＋ 2 ＝ 0 的兩根 ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 8 ， 由??? x 1 ＋ x 2 ＝ 8 ，x 2 － x 1 ＝ 4 ， 解得??? x 1 ＝ 2 ，x 2 ＝ 6 ∴ 點(diǎn) B (2 ， 0 ) ， C (6 ， 0 ) ． 將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式中 ， 得 4 m － 16 m ＋ 4 m ＋ 2 ＝ 0 ， 解得 m ＝14， ∴ 該拋物線的表達(dá)式為 y ＝14x2－ 2 x ＋ 3. (2) 可求得點(diǎn) A (0 ， 3 ) ， 設(shè)直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式為 y ＝ kx ＋ b ， 則??? b ＝ 3 ，6 k ＋ b ＝ 0 ，∴?????k ＝－12，b ＝ 3. ∴ 直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式為 y ＝－12x ＋ 3. 要構(gòu)成 △ APC ， 顯然 t ≠ 6 ， 故分兩種情況討論： ① 當(dāng) 0 ＜ t ＜ 6 時(shí) ， 設(shè)直線 l 與線段 AC 的交點(diǎn)為 F ， 則點(diǎn) F ( t ， －12t ＋ 3) ， ∵ 點(diǎn) P ( t ，14t2－ 2 t ＋ 3) ， ∴ PF ＝－14t2＋32t ， ∴ S △APC＝ S △APF＋ S △CPF ＝12 ????????－14t2＋32t ( m ＋ 3) ＝－12m2－32m ＋
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