20xx北師大版中考數(shù)學(xué)第三章第17課二次函數(shù)的綜合應(yīng)用(完整版)
【正文】 52＋ 75. ∵ － 30 ， ∴ 能建成的飼養(yǎng)室總占地面積最大 為 75 m 2 . 8 ． 某商場經(jīng)營某種品牌的玩具 ， 購進時的單價是 30 元 ， 根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi) ， 銷售單價是 40 元時 ， 銷售量是 600 件 ， 而銷售單價每漲 1元 ， 就會少售出 10 件玩具． (1) 不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為 x 元 ( x ＞ 40) ， 請你分別用含 x 的代數(shù)式來表示銷售量 y 件和銷售該品牌玩具獲得利潤 w 元 ， 并把結(jié)果填寫在表格中： 銷售單價 ( 元 ) x 銷售量 y ( 件 ) 銷售玩具 獲得利潤 w ( 元 ) (2) 在 (1) 問條件下 ， 若商場獲得了 10000 元銷售利潤 ， 則該玩具銷售單價x 應(yīng)定為多少元？ (3) 在 (1) 問條件下 ， 若玩具廠規(guī)定該 品牌玩具銷售單價不低于 44 元 ， 且商場要完成不少于 540 件的銷售任務(wù) ， 則商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？ 解： (1) 從上往下依次填： 1000 － 10 x ；－ 10 x2＋ 1300 x － 30000. (2) 由題意 ， 得－ 10 x2＋ 1300 x － 30000 ＝ 10000 ， 解得 x1＝ 50 ， x2＝ 80. 答：玩具銷售單價為 50 元或 80 元時 ， 可獲得 10000 元銷售利潤． (3) 根據(jù)題意 ， 得??? 1000 － 10 x ≥ 540 ，x ≥ 44 ，解得 44 ≤ x ≤ 46. ∵ 利潤 w ＝－ 10 x2＋ 1300 x － 30000 ＝－ 10( x － 65)2＋ 12250 ， ∴ a ＝－ 10 ＜ 0 ， 對稱軸為直線 x ＝ 65 ， ∴ 當 44 ≤ x ≤ 46 時 ， y 隨著 x 增大而增大． ∴ 當 x ＝ 46 時 ， w 最大 ， w 最大值 ＝ 8640 元． 答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤為 8640 元． 易錯警示 易錯易混點：確定實際問題中的最值與自變量的取值范圍 【例題】 某商品的進價為 40 元 ， 售價為每件 50 元 ， 每個月可賣出 210件；如果每件商品的售價漲 1 元 ， 那么每個月少賣 10 件 ( 每件售價不能高于65 元 ) ．設(shè)每件商品的售價上漲 x 元 ( x 為正整數(shù) ) ， 每個月的銷售利潤 為 y 元． (1) 求 y 與 x 之間的函數(shù)表達式 ， 并直接寫出自變量的取值范圍． (2) 每件商品的 售價定為多少元時，每個月獲得利潤最大？最大的月利潤是多少元？ ( 3) 每件商品的售價定為多少元時 ， 每個月的利潤恰為 2200 元？根據(jù)以上結(jié)論請你直接寫出售價在什么范圍時 ， 每個月的利潤不低于 2200 元？ 【錯誤原型】 原型 1 ：取值范圍寫成 “ 0 ＜ x ≤ 15 ” ． 原型 2 ：由 y ＝ (210 － 10 x )(50 ＋ x － 40) ＝－ 10( x － ) 2 ＋ ， 得當 x ＝ 時 ， y 有最大值 . 【錯因分析】 本題中 ， 自變量 x 的取值范 圍對解題起決定性 作用 ，在( 1) 中 ， 忽視 x 為整數(shù) ， 致使在 (2) 中產(chǎn)生 “ 當 x ＝ 時 ， y 最大 ＝ ” 的錯誤． 【正確解答】 (1) y ＝ (210 － 10 x )(50 ＋ x － 40) ＝－ 10 x2＋ 1 10 x ＋ 2100( 0 ＜x ≤ 15 且 x 為整數(shù) ) ． (2) y ＝－ 10( x － )2＋ ， ∵ a ＝－ 10 ＜ 0 ， ∴ 當 x ＝ 時 ， y 有最大值 . 又 ∵ 0 ＜ x ≤ 15 且 x 為整數(shù) ， 當 x ＝ 5 時 ， 50 ＋ x ＝ 55 ， y ＝ 2400( 元 ) ；當 x＝ 6 時 ， 50 ＋ x ＝ 56 ， y ＝ 2400( 元 ) ． ∴ 當售價定為每件 55 元或 56 元時 ， 每個月的利潤最大 ， 最大的月利潤是 2400 元． (3) 當 y ＝ 2200 時 ， － 10 x2＋ 1 10 x ＋ 2100 ＝ 2200 ， 解得 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 10. 當 x ＝ 1 時 ， 50 ＋ x ＝ 51 ；當 x ＝ 10 時 ， 50 ＋ x ＝ 60. ∴ 當售價定為每件 51 元或 60 元時 ， 每個月的利潤為 2200 元； 當售價不低于 51 元且不高于 60 元且為整數(shù)時 ， 每個月的利潤不低于2200 元 ( 或當售價分別為 51 ， 52 ， 53 ， 54 ， 55 ， 56 ， 57 ， 58 ， 59 ， 60 元時 ，每個月的利潤不低于 2200 元 ) ． 【解決方案】 應(yīng)用二次函數(shù)求最值時 ， 要注意區(qū)間段內(nèi)求最值的兩種情 況： (1) 頂點在區(qū)間段內(nèi) ， 配方求最值； (2) 頂點在區(qū)間段外 ， 利用圖象觀察增減性求最值． 題型精析 題型 一 二次函數(shù)與一元二次方程 要點回顧： 拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ， 當 y ＝ 0 時便轉(zhuǎn)化為一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0. (1) 當拋物線與 x 軸交于點 ( x1， 0 ) ， ( x2， 0 ) 且 x1 ＜ x2時 ， 一元二次方程ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有兩個不相等的實數(shù)根； x1＝－ b － b2－ 4 ac2 a， x2＝－ b ＋ b2－ 4 ac2 a. (2 ) 當拋物線與 x 軸只有一個公共點 ， 即拋物線頂點 ， 為 ( －b2 a， 0 ) ， 此時x1＝ x2＝－b2 a， 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有兩個相等的實數(shù)根． (3) 當拋物線與 x 軸無交點 ， 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 沒有實數(shù)根． 【例 1 】 (2021 (6 － t ) ＝12 ????????－14t2＋32t AO ＝ 3 ，BO ＝ 2 ， ( 變式訓(xùn)練 3 題圖解 ) 易得點 Q ( t ， 3 ) ， P ( t ，14t2－ 2 t ＋ 3) ， ∵ 當 y ＝14x2－ 2 x ＋ 3 ＝ 3 時 ， x1＝ 0 ， x2＝ 8. ∴ 分兩種情況： ① 當 2 ＜ t ≤ 8 時 ， AQ ＝ t ， PQ ＝－14t2＋ 2 t ， 若 △ AOB ∽△ AQP ， 則AOAQ＝BOPQ， 即3t＝2－14t2＋ 2 t， ∴ t ＝ 0( 舍去 ) 或 t ＝163； 若 △ AOB ∽△ PQA ， 則AOPQ＝OBQA， 即3
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