20xx北師大版中考數(shù)學(xué)第三章第17課《二次函數(shù)的綜合應(yīng)用》-文庫吧
2024-11-18 03:14 本頁面
【正文】 的售價上漲 x 元 ( x 為正整數(shù) ) ， 每個月的銷售利潤 為 y 元． (1) 求 y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式 ， 并直接寫出自變量的取值范圍． (2) 每件商品的 售價定為多少元時，每個月獲得利潤最大？最大的月利潤是多少元？ ( 3) 每件商品的售價定為多少元時 ， 每個月的利潤恰為 2200 元？根據(jù)以上結(jié)論請你直接寫出售價在什么范圍時 ， 每個月的利潤不低于 2200 元？ 【錯誤原型】 原型 1 ：取值范圍寫成 “ 0 ＜ x ≤ 15 ” ． 原型 2 ：由 y ＝ (210 － 10 x )(50 ＋ x － 40) ＝－ 10( x － ) 2 ＋ ， 得當(dāng) x ＝ 時 ， y 有最大值 . 【錯因分析】 本題中 ， 自變量 x 的取值范 圍對解題起決定性 作用 ，在( 1) 中 ， 忽視 x 為整數(shù) ， 致使在 (2) 中產(chǎn)生 “ 當(dāng) x ＝ 時 ， y 最大 ＝ ” 的錯誤． 【正確解答】 (1) y ＝ (210 － 10 x )(50 ＋ x － 40) ＝－ 10 x2＋ 1 10 x ＋ 2100( 0 ＜x ≤ 15 且 x 為整數(shù) ) ． (2) y ＝－ 10( x － )2＋ ， ∵ a ＝－ 10 ＜ 0 ， ∴ 當(dāng) x ＝ 時 ， y 有最大值 . 又 ∵ 0 ＜ x ≤ 15 且 x 為整數(shù) ， 當(dāng) x ＝ 5 時 ， 50 ＋ x ＝ 55 ， y ＝ 2400( 元 ) ；當(dāng) x＝ 6 時 ， 50 ＋ x ＝ 56 ， y ＝ 2400( 元 ) ． ∴ 當(dāng)售價定為每件 55 元或 56 元時 ， 每個月的利潤最大 ， 最大的月利潤是 2400 元． (3) 當(dāng) y ＝ 2200 時 ， － 10 x2＋ 1 10 x ＋ 2100 ＝ 2200 ， 解得 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 10. 當(dāng) x ＝ 1 時 ， 50 ＋ x ＝ 51 ；當(dāng) x ＝ 10 時 ， 50 ＋ x ＝ 60. ∴ 當(dāng)售價定為每件 51 元或 60 元時 ， 每個月的利潤為 2200 元； 當(dāng)售價不低于 51 元且不高于 60 元且為整數(shù)時 ， 每個月的利潤不低于2200 元 ( 或當(dāng)售價分別為 51 ， 52 ， 53 ， 54 ， 55 ， 56 ， 57 ， 58 ， 59 ， 60 元時 ，每個月的利潤不低于 2200 元 ) ． 【解決方案】 應(yīng)用二次函數(shù)求最值時 ， 要注意區(qū)間段內(nèi)求最值的兩種情 況： (1) 頂點(diǎn)在區(qū)間段內(nèi) ， 配方求最值； (2) 頂點(diǎn)在區(qū)間段外 ， 利用圖象觀察增減性求最值． 題型精析 題型 一 二次函數(shù)與一元二次方程 要點(diǎn)回顧： 拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ， 當(dāng) y ＝ 0 時便轉(zhuǎn)化為一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0. (1) 當(dāng)拋物線與 x 軸交于點(diǎn) ( x1， 0 ) ， ( x2， 0 ) 且 x1 ＜ x2時 ， 一元二次方程ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； x1＝－ b － b2－ 4 ac2 a， x2＝－ b ＋ b2－ 4 ac2 a. (2 ) 當(dāng)拋物線與 x 軸只有一個公共點(diǎn) ， 即拋物線頂點(diǎn) ， 為 ( －b2 a， 0 ) ， 此時x1＝ x2＝－b2 a， 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有兩個相等的實(shí)數(shù)根． (3) 當(dāng)拋物線與 x 軸無交點(diǎn) ， 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 沒有實(shí)數(shù)根． 【例 1 】 (2021 荊州 ) 已知關(guān)于 x 的方程 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 ＝ 0. (1) 求證：無論 k 取任何實(shí)數(shù)時 ， 方程總有 實(shí)數(shù)根． (2) 當(dāng)拋物線 y ＝ kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 圖象與 x 軸兩個交 點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù) ， 且 k 為正整數(shù)時 ， 若 P ( a ， y 1 ) ， Q (1 ， y 2 ) 是此拋物線上的兩點(diǎn) ， 且 y 1 ＞ y 2 ，請結(jié)合函數(shù)圖象確定實(shí)數(shù) a 的取值范圍． (3) 已知拋物線 y ＝ kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 恒過定點(diǎn) ， 求出定點(diǎn)坐標(biāo)． 解析 (1) 分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方 程 兩種情況． 當(dāng)該方程為一元二次方程時 ， 根的判別式 Δ ≥ 0 ， 方程總有實(shí)數(shù)根． (2) 通過解 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 ＝ 0 得到 k ＝ 1 ， 由此得到該拋物線的表達(dá)式為 y ＝ x2＋ 3 x ＋ 2 ， 結(jié)合圖象回答問題 ． (3) 根據(jù)題意得到 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 － y ＝ 0 恒成立 ， 由此列出關(guān)于 x ， y 的方程組 ， 通過解方程組求得該定點(diǎn)坐標(biāo)． 答案 (1) 證明： ① 當(dāng) k ＝ 0 時 ， 方程為 x ＋ 2 ＝ 0 ， 所以 x ＝－ 2 ， 方程有實(shí)數(shù)根； ② 當(dāng) k ≠ 0 時 ， ∵ Δ ＝ ( 2 k ＋ 1)2－ 4 k 2 ＝ (2 k － 1)2≥ 0 ， 即 Δ ≥ 0 ， ∴ 無論 k 取任何實(shí)數(shù)時 ， 方程總有實(shí)數(shù)根． (2) 令 y ＝ 0 ， 則 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 ＝ 0 ， 解關(guān)于 x 的一元二次方程 ， 得 x1＝－ 2 ， x2＝－1k. ∵ 二次函數(shù)的圖象與 x 軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù) ， 且 k 為正整數(shù) ， ∴ k ＝ 1. ∴ 該拋物線的表達(dá)式為 y ＝ x2＋ 3 x ＋ 2. 如解圖 ， 由圖象得到：當(dāng) y1＞ y2時 ， a ＞ 1 或 a ＜－ 3. ( 例 1 題圖解 ) (3) 由題意 ， 得 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 － y ＝ 0 恒成立 ， 即 k ( x2＋ 2 x ) ＋ x － y ＋ 2 ＝0 恒成立 ， 則??? x2＋ 2 x ＝ 0 ，x － y ＋ 2 ＝ 0 ， 解得??? x ＝ 0 ，y ＝ 2 ，或??? x ＝－ 2 ，y ＝ 0. ∴ 該拋物線恒過定點(diǎn) (0 ， 2 ) ， ( － 2 ， 0 ) ． 變式訓(xùn)練 1 (2021 濟(jì)寧 ) “ 如果二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的圖象與 x 軸有兩個公共點(diǎn) ， 那么一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根． ”請根據(jù)你對這句話的理解 ， 解決下面問題：若 m ， n ( m ＜ n ) 是關(guān)于 x 的方程 1－ ( x － a )( x － b ) ＝ 0 的兩根 ， 且 a ＜ b ， 則 a ， b ， m ， n 的大小關(guān)系是 ( A ) A. m ＜ a ＜ b ＜ n B. a ＜ m ＜ n ＜ b C. a ＜ m ＜ b ＜ n D. m ＜ a ＜
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