20xx北師大版中考數(shù)學(xué)第三章第17課《二次函數(shù)的綜合應(yīng)用》-預(yù)覽頁
【正文】 (3) 已知拋物線 y ＝ kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 恒過定點(diǎn) ， 求出定點(diǎn)坐標(biāo)． 解析 (1) 分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方 程 兩種情況． 當(dāng)該方程為一元二次方程時 ， 根的判別式 Δ ≥ 0 ， 方程總有實(shí)數(shù)根． (2) 通過解 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 ＝ 0 得到 k ＝ 1 ， 由此得到該拋物線的表達(dá)式為 y ＝ x2＋ 3 x ＋ 2 ， 結(jié)合圖象回答問題 ． (3) 根據(jù)題意得到 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 － y ＝ 0 恒成立 ， 由此列出關(guān)于 x ， y 的方程組 ， 通過解方程組求得該定點(diǎn)坐標(biāo)． 答案 (1) 證明： ① 當(dāng) k ＝ 0 時 ， 方程為 x ＋ 2 ＝ 0 ， 所以 x ＝－ 2 ， 方程有實(shí)數(shù)根； ② 當(dāng) k ≠ 0 時 ， ∵ Δ ＝ ( 2 k ＋ 1)2－ 4 k 2 ＝ (2 k － 1)2≥ 0 ， 即 Δ ≥ 0 ， ∴ 無論 k 取任何實(shí)數(shù)時 ， 方程總有實(shí)數(shù)根． (2) 令 y ＝ 0 ， 則 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 ＝ 0 ， 解關(guān)于 x 的一元二次方程 ， 得 x1＝－ 2 ， x2＝－1k. ∵ 二次函數(shù)的圖象與 x 軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù) ， 且 k 為正整數(shù) ， ∴ k ＝ 1. ∴ 該拋物線的表達(dá)式為 y ＝ x2＋ 3 x ＋ 2. 如解圖 ， 由圖象得到：當(dāng) y1＞ y2時 ， a ＞ 1 或 a ＜－ 3. ( 例 1 題圖解 ) (3) 由題意 ， 得 kx2＋ (2 k ＋ 1) x ＋ 2 － y ＝ 0 恒成立 ， 即 k ( x2＋ 2 x ) ＋ x － y ＋ 2 ＝0 恒成立 ， 則??? x2＋ 2 x ＝ 0 ，x － y ＋ 2 ＝ 0 ， 解得??? x ＝ 0 ，y ＝ 2 ，或??? x ＝－ 2 ，y ＝ 0. ∴ 該拋物線恒過定點(diǎn) (0 ， 2 ) ， ( － 2 ， 0 ) ． 變式訓(xùn)練 1 (2021 安徽 ) 為了節(jié)省材料 ， 某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤 ( 岸堤足夠長 ) 為一邊 ， 用總長為 80 m 的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的 ①②③ 三塊矩形區(qū)域 ， 而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè) BC 的長度為 x (m) ， 矩形區(qū)域 ABCD的面積為 y (m2) ． (1) 求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 ， 并注明自變量 x 的取值范圍． (2) x 為何值時 ， y 有最大值？最大值是多少？ (例 3 題圖 ) 解析 (1) 根據(jù)三個矩形面積相等 ， 得到矩形 AE FD 面積是矩形 BCF E面積的 2 倍 ， 可得出 AE ＝ 2 BE ， 設(shè) BE ＝ a ， 則有 AE ＝ 2 a ， 表示出 a 與 2 a ，進(jìn)而表示出 y 與 x 的關(guān)系式 ， 并求出 x 的范圍即可． (2) 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出 y 的最大值 ， 以及此時 x 的值即可． 答案 (1) ∵ 三塊矩形區(qū)域的面積相等 ， ∴ 矩形 AEFD 面積是矩形 BCFE 面積的 2 倍 ， ∴ AE ＝ 2 BE ， 設(shè) BE ＝ a ， 則 AE ＝ 2 a ， ∴ 8 a ＋ 2 x ＝ 80 ， ∴ a ＝－14x ＋ 10 ， 2 a ＝－12x ＋ 20 ， ∴ y ＝ ( －12x ＋ 20) x ＋ ( －14x ＋ 10) x ＝－34x2＋ 30 x . ∵ a ＝－14x ＋ 10 ＞ 0 ， ∴ x ＜ 40 ， 則 y ＝－34x2＋ 30 x (0 ＜ x ＜ 40) ． (2) ∵ y ＝－34x2＋ 30 x ＝－34( x － 20)2＋ 300(0 ＜ x ＜ 4 0) ， 且二次項系數(shù)為－34＜ 0 ， ∴ 當(dāng) x ＝ 20 時 ， y 有最大值 ， 最大值為 300 m2. 變式訓(xùn)練 3 (2021 6 ＝－34( t － 3)2＋274， 此時當(dāng) t ＝ 3 時 ， 有最大值274. ② 當(dāng) 6 ≤ t ≤ 8 時 ， 設(shè)直線 l 與線段 AC 的延長線的交點(diǎn)為 M ， 則點(diǎn) M ( t ，－12t ＋ 3) ， ∵ 點(diǎn) P ( t ，14t2－ 2 t ＋ 3) ， ∴ PM ＝14t2－32t ， ∴ S △APC＝ S △APF－ S △CPF＝12????????14t2－32t t －12????14t2－ ????32t ( t － 6) ＝34t2－92t ＝34( t － 3)2－274， 當(dāng) t ＝ 8 時 ， 取最大值 ， 最大值為 12. 綜上可知 ， 當(dāng) 0 ＜ t ≤ 8 時 ， △ APC 面積的最大值為 12. (3) 存在．如解圖 ， 連結(jié) AB ， 則在 △ AOB 中 ， ∠ AOB ＝ 90 176。 杭州 ) 給出下列命題及函數(shù) y ＝ x ， y ＝ x2和 y ＝1x： ① 如果1a＞ a ＞ a2，那么 0 ＜ a ＜ 1 ； ② 如果 a2＞ a ＞1a， 那么 a ＞ 1 ； ③ 如果1a＞ a2＞ a ，那么－ 1 ＜ a ＜ 0 ； ④ 如果 a2＞1a＞ a 時 ， 那么 a ＜－ 1. 則 ( ) ( 變式訓(xùn)練 4 題圖 ) A. 正確的命題是 ①④ B. 錯誤的命題是 ②③④ C. 正確的命 題是 ①② D. 錯誤的命題只有 ③ 解析 先確定出三函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1 ， 1 ) ， 再根據(jù)二次函數(shù)與不等式組的關(guān)系求解即可． 易求得當(dāng) x ＝ 1 時 ， 三個函數(shù)的函數(shù)值都是 1 ， ∴ 交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1 ， 1 ) ． 根據(jù)對稱性 ， 知 y ＝ x 和 y ＝1x在第三象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ( － 1 ， － 1) ， ① 如果1a＞ a ＞ a2， 那么 0 ＜ a ＜ 1 ， 正確； ② 如果 a2＞ a ＞1a，那么 a ＞ 1 或－ 1 ＜ a ＜ 0 ， 故命題錯誤； ③ 如果1a＞ a2＞ a ， 那么 a 值不存在 ， 故命題錯誤； ④ 如果 a2＞1a＞ a 時 ， 那么 a ＜－ 1 ， 正確． 綜上所述 ， 正確的命題是 ①④ . 答案 A
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