20xx北師大版中考數(shù)學第三章第17課二次函數(shù)的綜合應用(存儲版)
【正文】 2 ＝－12( m ＋32)2＋258， ∵ a ＝－12＜ 0 ， ∴ 當 m ＝－32時 ， S 有最大值 ， 為258. 又 ∵ － 3 ＜－32＜ 1 ， ∴△ P AD 的面積的最大值為258. ② 在點 D 運動的過程中 ， 四邊形 P AEC 不能為平行四邊形．理由如下： 當點 D 為 AC 的中點時 ， 其坐標為 ( － 1 ， 2 ) ， 可得此時點 P 的坐標為 (2 ，2 ) ， 點 E 的坐標為 ( － 5 ， 2 ) ， ∵ DP ＝ 3 ， DE ＝ 4 ， ∴ EP 與 AC 不能互相平分 ， ∴ 四邊形 P AEC 不能為平行四邊形． 變式訓練 4 (2021汕尾 ) 九年級數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調查 ， 得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表： 售價 ( 元 / 件 ) 100 1 10 120 130 ? 月銷量 ( 件 ) 200 180 160 140 ? 已知該運動服的進價為每件 60 元 ， 設售價為 x 元． (1) 請用含 x 的式子表示： ① 銷售該運動服每 件的利潤是 ________ 元； ② 月銷量是 ________ 件 ( 直接填寫結果 ) ． (2) 設銷量該運動服的月利潤為 y 元 ， 那么售價為多少時 ， 當月的利潤最大？最大利潤是多少？ 解析 (1) ① 根據(jù) “ 利潤＝售價－進價 ” 得出結論． ② 根據(jù)所給數(shù)據(jù)猜想月銷量是售價的一次函數(shù) ， 可設為 m ＝ kx ＋ b ， 將 (100 ， 200 ) ， (1 10 ， 180 ) 代入 ， 得??? 100 k ＋ b ＝ 200 ，1 10 k ＋ b ＝ 180 ， 解得??? k ＝－ 2 ，b ＝ 400. ∴ m ＝－ 2 x ＋ 400. 將其他各組數(shù)據(jù)代入檢驗 ， 適合 ， ∴ 月銷量是 ( － 2 x ＋ 400) 件． (2) 根據(jù) “ 利潤＝售價－進價 ” 得出 y 關于的二次函數(shù) ， 應用二次函數(shù)的最值原理求解即可． 答案 (1) ① x － 60 ② － 2 x ＋ 400 (2) 由題意 ， 得 y ＝ ( x － 60) ( － 2 x ＋ 400) ＝－ 2 x2＋ 520 x － 24000 ＝－ 2( x －130)2＋ 9800. 當 x ＝ 130 時 ， y 有最大值 9800. ∴ 售價為每件 130 元時 ， 當月的利潤最大 ， 為 9800 元 . 題型 三 利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問題 要點回顧： 構造二次函數(shù)來確定幾何圖形中的有關面積最大值的問題是近年來?？嫉念}型 ， 求解這類問題 ， 實際上 ， 只要我們能充分運用條件 ，根據(jù)圖形的特點 ， 綜合運用所學知識 ， 如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等來尋求等量關系 ， 從而構造出二次函數(shù) ， 再利用二次函數(shù)的性質即可求解． 【例 3 】 (2021 武漢 ) 九 (1) 班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調查 ， 整理出某種商品在第 x (1 ≤ x ≤ 90) 天的售價與銷量的相關信息如下表： 時間 x ( 天 ) 1 ≤ x ＜ 50 50 ≤ x ≤ 90 售價 ( 元 / 件 ) x ＋ 40 90 每天銷量 ( 件 ) 200 － 2 x 已知該商品的進價為每件 30 元 ， 設銷售該商品的每天利潤為 y 元． (1) 求出 y 關于 x 的函數(shù)表達式． (2) 問：銷售該 商品第幾天時 ， 當天銷售利潤最大？最大利潤是多少？ (3) 該商品在銷售過程中 ， 共有多少天每天銷售利潤不低于 4800 元？請直接寫出結果． 解析 (1) 根據(jù)單價乘數(shù)量 ， 可得利潤 ， 可得答案 ， 注意分段． (2) 根據(jù)分段函數(shù)的性 質 ，可分別求出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案． (3) 根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于 4800 ， 一次函數(shù)值大于或等于 48000 ， 可得不等式組 ， 解不等式組可得答案． 答案 (1) 當 1 ≤ x ＜ 50 時 ， y ＝ (200 － 2 x )( x ＋ 40 － 30) ＝－ 2 x2＋ 180 x ＋ 2021 ； 當 50 ≤ x ≤ 90 時 ， y ＝ (200 － 2 x )(90 － 30) ＝－ 120 x ＋ 12021. 綜上所述 ， y ＝??? － 2 x2＋ 180 x ＋ 2021 （ 1 ≤ x 5 ） ，－ 120 x ＋ 12021 （ 50 ≤ x ≤ 90 ） . (2) 當 1 ≤ x ＜ 50 時 ， 二次函數(shù)開口下 ， 二次函數(shù)對稱軸為直線 x ＝ 45 ， 當x ＝ 45 時 ， y 最大 ， y 最大 ＝－ 2 452＋ 180 45 ＋ 2021 ＝ 6050( 元 ) ； 當 50 ≤ x ≤ 90 時 ， y 隨 x 的增大而 減小 ， 當 x ＝ 50 時 ， y 最大 ， y 最大 ＝ 6000( 元 ) ． 綜上所述 ， 該商品第 45 天時 ， 當天銷售利潤最大 ， 最大利潤是 6050 元． (3) 當 20 ≤ x ≤ 60 時 ， 每天銷售利潤不低于 4800 元． ∴ 共有 41 天． 變式訓練 2 (2021 咸寧 ) 如圖 ① ， 已知直線 y ＝ x ＋ 3 與 x 軸交于點 A ， 與 y軸交于點 B ， 將直線在 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折 ， 得到一個新函數(shù)的圖象 ( 圖中的 “ V 形折線 ” ) ． (1) 類比研究函數(shù)圖象的方法 ， 請列舉新函數(shù)的兩條性質 ， 并求新函數(shù)的表達式． (2) 如圖 ② ，雙曲線 y ＝kx與新函數(shù)的圖象交于點 C (1 ， a ) ， 點 D 是線段 AC上一動點 ( 不包括端點 ) ， 過點 D 作 x 軸的平行線 ， 與新函數(shù)圖象交于另一點 E ，與雙曲線交于點 P . ( 例 4 題圖 ) ① 試求 △ P AD 的面積的最大值； ② 探索：在點 D 運動的過程中 ， 四邊形 P AEC 能否為平行四邊形？若能 ，求出此時點 D 的坐標；若不能 ， 請說明理由． 解析 (1) 根據(jù)一次函數(shù)的性質 ， 結合函數(shù)圖象可寫出新函數(shù)的兩條性質；求新函數(shù)的表達式 ， 可分兩種情況進行討論： ① x ≥ － 3 時 ， 顯然 y ＝ x＋ 3 ； ② 當 x ＜－ 3 時 ， 利用待定系數(shù)法求解． (2) ① 先把點 C (1 ， a ) 代入 y ＝ x ＋ 3 ， 求出 C (1 ， 4 ) ， 再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達式為 y ＝4x. 由點 D 是線段 AC 上一動點 ( 不包括端點 ) ， 可設點 D 的坐標為 ( m ， m ＋ 3) ， 且－ 3 ＜ m ＜ 1 ， 那么點 P (4m ＋ 3， m ＋ 3) ， PD ＝4m ＋ 3－ m ， 再根據(jù)三角形的面積公式得出 △
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