【正文】 , ∴ OD=OA=4,∴ 點 D的坐標為 (0,4), 設直線 PA的解析式為 y=kx+m(k≠ 0), 12 154 12 1542把 D(0,4),A(4,0)分別代入 y=kx+m中 ,得 ? 解得 ? ∴ 直線 PA的解析式為 y=x+4.? (5分 ) 由 x24x=x+4解得 x1=4,x2=1, ∵ 點 P在第二象限內(nèi) , ∴ x=1, 當 x=1時 ,y=(1)24(1)=5, ∴ 點 P的坐標為 (1,5),? (6分 ) ∵∠ PAF=∠ APF=45176。 (2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點 P,當 PA⊥ BA時 ,求△ PAB的面積 . ? 解析 (1)解法一 :∵ 拋物線 y=ax2+bx過點 B(1,3),對稱軸為直線 x=2, ∴ ? ? (1分 ) 解之得 ? ? (2分 ) ∴ 拋物線的解析式為 y=x24x.? (3分 ) ∵ 拋物線過原點 ,對稱軸為直線 x=2, ∴ 由拋物線的對稱性得 A(4,0), 由題圖可知 ,當 y≤ 0時 ,自變量 x的取值范圍為 0≤ x≤ 4.? (4分 ) 解法二 :拋物線 y=ax2+bx過原點 ,對稱軸為直線 x=2, 由拋物線的對稱性得 A(4,0), 把 A(4,0),B(1,3)分別代入 y=ax2+bx中 ,得 ? ? (1分 ) 解之得 ? ? (2分 ) ∴ 拋物線的解析式為 y=x24x.? (3分 ) 2,23,baab? ?????? ? ??1, ??? ???16 4 0,3,abab???? ? ? ??1, ??? ???由題圖可知 ,當 y≤ 0時 ,自變量 x的取值范圍為 0≤ x≤ 4.? (4分 ) (2)解法一 :過點 B作 BE⊥ x軸于點 E,過點 P作 PF⊥ x軸于點 F, ? ∵ 點 A的坐標為 (4,0),點 B的坐標為 (1,3), ∴ BE=AE=3, ∴∠ EAB=∠ EBA=45176。 ② 當△ PDC與△ COA相似時 ,求點 P的坐標 . ? 14解析 (1)將 (2,0),(8,0)代入 y=? x2+bx+c, 得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+? x+4.? (3分 ) (2)由 (1)知 C(0,4),又 B(8,0), ∴ 易知直線 BC的方程為 y=? x+4. ① 如圖 a,過點 P作 PG⊥ x軸于點 G,PG交 CB于點 E,易知 ∠ PED=∠ OCB, 在 Rt△ PDE中 ,PD=PE=AB,要使△ A39。:y=x2+mx+6,y=x2+nx6.? (7分 ) 又知 ,拋物線 L39。B39。兩點 (點 A39。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。④ OA構造“一線三等角”的模型確定點 D的坐標 ,最后根據(jù)點 P在直線 DH上 ,分 類討論求出 m的值 ,即可求出拋物線的解析式 . 考點二 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1.(2022四川成都 ,10,3分 )關于二次函數(shù) y=2x2+4x1,下列說法正確的是 ? ( ) y軸的交點坐標為 (0,1) y軸的右側(cè) x0時 ,y的值隨 x值的增大而減小 3 答案 D 因為 y=2x2+4x1=2(x+1)23,所以 ,當 x=0時 ,y=1,選項 A錯誤 。, ∴∠ ADH=45176。 (2)若點 P在 x軸下方 ,當 ∠ AOP=45176。 (3)證明 :當直線 l繞點 D轉(zhuǎn)動時 ,? +? 為定值 ,并求出該定值 . ? 31AM 1AN解析 (1)a=? .點 A的坐標為 (? ,0).對稱軸為直線 x=? .? 將點 C(0,3)代入解析式得 9a=3,∴ a =? ,∴ y=? x2+? x+ ? x2+? x+3=0,整理得 x22? x9=0,解得 x1=3? ,x2=? ,∴ 點 A的坐 標為 (? ,0),點 B的坐標為 (3? ,0),對稱軸為直線 x=? ? ? (3分 ) (2)由 (1)得 OA=? ,又 OC=3,∴ tan∠ CAO=? =? , ∴∠ CAO=60176。 180 452?? ?12222當點 P在 x軸下方時 ,由對稱性可知 P點坐標為 (1,22? ). 綜上可知 ,P點坐標為 (1,2+2? )或 (1,22? ). (3)設 Q(x,x2+2x+3),當點 Q在 x軸下方時 ,過 Q作 QE⊥ y軸于點 E, 當 ∠ OCA=∠ OCQ時 ,則△ QEC∽ △ AOC, ∴ ? =? =? ,即 ? =? ,解得 x=0(舍去 )或 x=5, ∴ 當 Q點橫坐標為 5時 ,∠ OCA=∠ OCQ。 (3)點 Q在 y軸右側(cè)的拋物線上 ,利用圖 2比較 ∠ OCQ與 ∠ OCA的大小 ,并說明理由 . 圖 1 圖 2 解析 (1)在 y=x2+2x+3中 ,令 y=0可得 0=x2+2x+3,解得 x=1或 x=3,令 x=0可得 y=3, ∴ B(3,0),C(0,3), ∴ 可設直線 BC的解析式為 y=kx+3, 把 B點坐標代入可得 3k+3=0,解得 k=1, ∴ 直線 BC的解析式為 y=x+3. (2)∵ OB=OC, ∴∠ ABC=45176。 (2)當△ CMN是直角三角形時 ,求點 M的坐標 。B中點 ,CD⊥ x軸 , ∴ CD為△ A39。x2=? =? , ∴ ? =d2+1, 解得 d1=3,d2=? . 經(jīng)檢驗 ,當 d=3時 ,? x2+? x? =3有兩個不相等的正實數(shù)根 , 當 d=? 時 ,? x2+? x? =? 有兩個不相等的正實數(shù)根 . ∴ d=3或 ? .即 D(0,3)或 ? . 34 214 92 34 214 9234 214 929234d???18 43 d?18 43 d?5334 214 9253 34 214 92 5353 50, 3???????② 當 M,N在 y軸異側(cè)時 ,DM[ m(m1)]=? MN. 綜上所述 ,S△ MAB=? m2+3m+? =? (m3)2+5(0≤ m≤ 4). ∴ 當 m=3時 ,S△ MAB最大 ,最大值為 5. 當 m=0時 ,S△ MAB=? 。k2=? k3, S△ EAD=? ③ 四邊形 ACBD是菱形 。 當 x3=4時 ,tmax=8+4=12, ∴ 10≤ t≤ 12,故選 D. 2.(2022貴港 ,12,3分 )如圖 ,拋物線 y=? (x+2)(x8)與 x軸交于 A,B兩點 ,與 y軸交于點 C,頂點為 M,以 AB為直徑作☉ :① 拋物線的對稱軸是直線 x=3。 ② 當△ PCM是以 PM為一腰的等腰三角形時 ,求點 P的坐標 . ? 解析 (1)把 (1,0),(3,0),(0,3)代入 y=ax2+bx+c得 ? 解得 ? ∴ 二次函數(shù)的表達 式為 y=x22x3. (2)① 設 P(m,m22m3)(0m3),直線 BC的解析式為 y=kx+n(k≠ 0). 把 (0,3),(3,0)代入 y=kx+n得 ? 解得 ? ∴ 直線 BC的解析式為 y=x3. ∴ M(m,m3). ∴ MP=m3(m22m3)=m2+3m. 當 m=? =? 時 ,MP最長 ,且 MP=? . ∴ 線段 MP長的最大值為 ? . ② 當 MP=MC時 , 過 M作 MD⊥ y軸于 D, ∴ 四邊形 ODMH為矩形 , 0,9 3 0 ,3,a b ca b cc? ? ???? ? ??? ???1,2,3.abc??????? ???3,3 0 ,nkn???? ??? 1, ??? ???32 ( 1)?? 32 9494∴ OH=DM=m. ∵ OC=OB=3,∠ COB=90176。, ∴∠ OCM=45176。②☉ D的面積為 16π。④ 9a3b+c0. 你認為其中正確的是 ? ( ) ? A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 答案 D ①拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)與 x軸交于點 A(2,0)、 B(1,0),∴ 對稱軸為直線 x=? = =? , ∴ a=b,∴ ① 正確 。AD當 m=4時 ,S△ MAB=? . ∴ 當 m=0時 ,S△ MAB最小 ,最小值為 ? . 12 1212 1212 12 1212 9212綜上可知 ,m=0時 ,S取得最小值 ,m=3時 ,S取得最大值 . ? (3)連接 OP,① ∵ CP∥ x軸 ,∴ 易證得當 M與 C重合時 ,∠ MPO=∠ POA,M(0,4). ② 當 0m3時 ,由題圖易得 ∠ MPO≠ ∠ M在直線 OP下方 ,即 3m≤ 4時 ,過 OP的中點 E作 OP的垂直平分線交 x軸于 Q. 連接 PQ,則 PQ與拋物線的交點為 M. 易知 OP=? =5,∴ OE=? ,過 P作 PH⊥ x軸于 H. 則 tan∠ POA=? ,cos∠ AOP=? . ∴ ? =? ,∴ OQ=? ,∴ Q? . 設直線 PQ的解析式為 y=kx+b, 2234?5243 35OEOQ35 256 25,06??????將 ? ,(3,4)代入得 ? 解得 ? ∴ 直線 PQ的解析式為 y=? x+? , 聯(lián)立 ? 得 x2+3x+4=? x+? . 整理得 7x245x+72=0, (7x24)(x3)=0, ∴ x1=? ,x2=3(與 P重合 ,舍去 ). 把 x=? 代入 y=? x+? ,得 y=? ,∴ M? . 綜上所述 ,M的坐標為 (0,4)或 ? . 25,06?????? 25 0,63 4 ,kbkb? ????????24,7100.7kb? ?????? ???247 100722 4 1 0 0 ,773 4 ,yxy x x? ? ? ????? ? ? ??247 1007247247 247 1007 12449 2 4 1 2 4,7 4 9??????2 4 1 2 4,7 4 9??????3.(2022梧州 ,26,12分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx? 與 x軸交于 A(1,0),B(6,0)兩點 ,D是 y軸上一點 ,連接 DA,延長 DA交拋物線于點 E. (1)求此拋物線的解析式 。DN=x1BN的中位線 ,∴ CD=? BN=? . 又 PE⊥ x軸 ,CD⊥ x軸 ,∴ CD∥ PE, ∴ 當 PE=CD時 ,四邊形 CDPE為平行四邊形 ,令 P(m,n). 此時 n=? ,∴ m2+2? m=? ,解得 m1=? ,m2=? , 又 ? ,? ∈ (0,2? ), ∴ P? 或 ? . 33 3 3 ,3,2abba? ???? ????1,2 3 ,ab????????33 3 33 3312 32323322 3 62? 2 3 62?2 3 62? 2 3 62? 32 3 6 3,22???????2 3 6 3,22???????5.(2022賀州 ,26,12分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,拋物線 y=ax2+bx+c交 x軸于 A,B兩點 (A在 B的左 側(cè) ),且 OA=3,OB=1,與 y軸交于 C(0,3),拋物線的頂點為 D(1,4). (1)求 A,B兩點的坐標 。 (3)試求出 AM+AN的最小值 . ? 解析 (1)把 (3,0),(0,4)代入 y=ax25ax+c得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+? x+4, ∵ AC=BC,OC=OC, ∴ Rt△ AOC≌ Rt△ BOC(HL), ∴ OA=OB, ∵ A(3,0), ∴ B(3,0), ∵ BD⊥ x軸 ,D在拋物線上 , ∴ D(3,5). (2)易知 OC=4,BC=5,設 M(0,a)(0≤ a≤ 4), ∵ CM=BN, ∴ CM=BN=4a,CN=BCBN=5(4a)=1+a, ① 當 ∠ CMN=90176。, ∵ y=x2+2x+3=(x1)2+4, ∴ 拋物線的對稱軸為 x=1, 設拋物線的對稱軸交直線 BC于點 D,交 x軸于點 E,當點 P在 x軸上方時 ,如圖 , ∵∠ APB=∠ ABC=45176。 當 Q點的橫坐標大于 5時 ,∠ OCQ逐漸變小 ,故 ∠ OCA∠ OCQ。,∴∠ DAO=30176。時 ,求拋物線的解析式 。,∴ AH=AD. ∵∠ DAE+∠ HAG=∠ AHG+∠ HAG=90176。該函數(shù)圖象的對稱軸是 直線 x=1,選項 B錯誤 。OB=? .