等差數(shù)列前n項和教案共五則(編輯修改稿)
2024-10-25 12:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??+（50+51）=10150=5050 高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，?，n，?前100項的和的問題。今天我們就來學(xué)習(xí)如何去求等差數(shù)列的前n項的和。[探索研究]我們先來看看人們由高斯求前100個正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1，2，3，?，n，?的前n項的和：由 1 + 2 + ? + n1 + n n + n1 + ? + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1）可知上面這種加法叫“倒序相加法”請同學(xué)們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和與首項與尾項的和是相等的這個規(guī)律并且把這個規(guī)律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和的。[等差數(shù)列求和公式的教學(xué)]一般地，稱思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。我們用兩種方法表示：為數(shù)列的前n項的和，用表示，即 ①②由①+②，得由此得到等差數(shù)列的前n項和的公式對于這個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了。除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（讀基礎(chǔ)教好學(xué)生要介紹）當(dāng)然，對于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如：====這兩個公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到 引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)。第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進行比較。這兩個公式的共同點都是知道點是第一個公式還需知道條件決定選用哪個公式。[公式運用]（課本52頁練習(xí)2）根據(jù)下列各題中的條件，不同，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據(jù)已知⑴⑵[例題分析]例2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時間，2001年該市用于“校校通”，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？⑴、先閱讀題目；⑵、引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；⑶、寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解。解：根據(jù)題意，從20012010年，該市每年投入“校校通”，可以建立一個等差數(shù)列投入的資金，其中，表示從2001年起各年，d=，到2010年（n=10），投入的資金總額為（萬元）答：從2001~2010年，該市在“校校通”．已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，？引導(dǎo)學(xué)生分析得到：等差數(shù)列前n項和公式就是一個關(guān)于的方程。若要確定其前n項求和公式，則要確定關(guān)系式，從而求得。分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關(guān)于的二元一次方程，由此可以求得與d， 解：由題意知，將它們代入公式得到解這個關(guān)于與d的方程組，得到=4，d=6，所以另解：得所以②②①，得，所以代入①得：所以有例題評述：，通過解方程， 已知數(shù)列的前n項為，？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據(jù)＞與 可知，當(dāng)n＞1時，①當(dāng)n=1時，也滿足①，數(shù)列是一個首項為，公差為2的等差數(shù)列。，可求（n＞1），而且還要注意求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿思考：結(jié)合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個數(shù)列前n項和為的其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 引導(dǎo)分析得出：觀察等差數(shù)列兩個前n項和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項。所以得到：如果一個數(shù)列前n項和公式是常數(shù)項為0，且關(guān)于n的二次型函數(shù)， ，求使得最大的序號n 分析：等差數(shù)列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當(dāng)x=，：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以=于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時，取最大值.[隨堂練習(xí)]課本52頁“練習(xí)”第4題[補充練習(xí)]已知數(shù)列差數(shù)列，設(shè)生：分析題意，：設(shè)首項是，公差為d是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S6，S12S6，S18S12成等成等差數(shù)列嗎？則：求集合的元素個
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