【文章內容簡介】 nput(39。R= 39。) C=input(39。C=39。) %syms v eq1=39。Dv+1/(R*C)*v=039。 ic1=39。v(0)=539。 zi=dsolve(eq1,ic1,39。t39。)。 zi=simplify(zi)。 pretty(zi) eq2=39。Dv+1/(R*C)*v=1/(R*C)*5*sin(2*pi*t)39。 ic2=ic1。 zs=dsolve(eq2,ic2,39。t39。)。 zs=simplify(zs)。 pretty(zs) R + + ()Ct? + ()Ct? ()Cet vz=zi+zs %pretty(vz) Command 窗口輸入電阻 R 和電容 C 參數值后運算的結果 : 圖 11 例 27 系統的零輸入響應與零狀態(tài)響應表達式 沖激響應和階躍響應 例 25 給定如圖 12 所示的電路， t0開關 S 處于 1 位置而且已經達到穩(wěn)態(tài)；當 t=0時， S由 1 轉向 2。建立電流 i(t)的微分方程并求解 i(t)在 +0t? 時的變化。 圖 12 換路電路 29 對圖 12 所示電路，求電流 ()it 對激勵 () ()et t?? 的沖激響應 ()ht 。 描述連續(xù)時間系統的微分方程課本式 29： 00( ) ( )n i m inmiin i m iijddC r t E e td t d t??????? + _ + _ 2 1 S ()it 1CF? () 2et V? 1 1R?? ()Cit 14LH? 2 32R?? ()Lit e(t)=4v 由例 25 求得電路的微分方程為： 22( ) 7 ( ) 1 0 ( ) ( ) 6 ( ) 4 ( )d d d di t i t i t e t e t e td t d t d t d t? ? ? ? ? 對應的齊次方程為： 22 ( ) 7 ( ) 1 0 ( ) 0ddi t i t i td t d t? ? ? 用 dsolve 函數求其齊次解過程如下圖： syms h ht=dsolve(39。D2h+7*Dh+10*h=039。,39。t39。) ht = C2/exp(2*t) + C3/exp(5*t) pretty(ht) C2 C3 + exp(2 t) exp(5 t) 利用沖激函數匹配法列出的待定系數方程組為： 1767 10 4abac b a???????? ? ?? 下面用 Matlab 求線性方程組的解： A=[1 0 0 。7 1 0。10 7 1] A = 1 0 0 7 1 0 10 7 1 B=[1。6。4] B = 1 6 4 X=A\B X = 1 1 1 卷積 卷積方法的原理就是將信號分解為沖激信號之和，借助系統的沖激響應 ()ht ，求解系統對任意激勵信號的零狀態(tài)響應。 對于任意兩個信號 1()ft和 2()ft，兩者的卷積運算定義為： 12( ) ( ) ( )f t f t f t d???????? 這里的積分限為 ?? 和 ? ，這是由于對 1()ft和 2()ft的作用時間范圍沒有加以限制，實際由于系統的因果性或激勵信號存在時間的局限性，其積分限會有變化，這一點借助卷積的圖形解釋可以看得很清楚。 在頻域中的應用 傅里葉變換是在傅里葉級數正交函數展開的基礎上發(fā)展而產生的，傅里葉變換也稱傅里葉分析。 周期信號的傅里葉級數分析 三角函數形式的傅里葉級數 按照數學中的傅里葉級數的定義 ,周期函數 ()ft 如果滿足狄利克雷條件就可以分解為直流分量及許多正弦、余弦分量。函數 ()ft 的周期為 1T ，角頻率為 1 12T??? ，頻率為 1 11f T? ，傅里葉級數展開表達式為： 0 1 1 1 1 2 12 1 1 10 1 11( ) c o s ( ) s i n ( ) c o s ( 2 )s i n ( 2 ) .. . + c o s ( ) s i n ( ) .. .[ c o s ( ) s i n ( ) ]nnnnnf t a a t b t a tb t a n t b n ta a n t b n t? ? ?? ? ?????? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ?? 式 其中 nN?? 。 各次諧波成分的幅度值按以下各式計算： 直流分量 0100 1 ()tTta f t dtT ?? ? ......式 余弦分量的幅度 010 112 ( ) c o s ( )tTnta f t n t d tT ??? ? ...... 式 正弦分量的幅度 010 112 ( ) s in ( )tTntb f t n t d tT ??? ? ...... 式 其中 nN?? 。 指數形式的傅里葉級數 歐拉公式： 11j1 1c o s( ) ( + e )2 jn t n tn t e ??? ? 111 1s in ( ) ( )2 jn t jn tn t e ej ??? ??? 將上式代入到式 得到： 1101( ) ( )22jn t jn tn n n nna jb a jbf t a e e??? ????? ? ?? ...... 式 令 1 1( ) ( )2 nnF n a jb? ?? 其中 nN?? ...... 式 考慮到 na 是 n 的偶函數， nb 是 n 的奇函數，由式 可知 1 1( ) ( )2 nnF n a jb?? ? ? ...... 式 將式 和式 代入式 中得： 110 1 11( ) [ ( ) e ( ) ]jn t jn tnf t a F n F n e????? ??? ? ? ?? ...... 式 令 0(0)Fa? ，又因為 111111( ) ( )jn t jn tnnF n e F n e????? ? ??? ? ?????，于是得到 ()ft 的指數形式傅里葉級數： 11( ) ( ) jn tnf t F n e ??????? ? ...... 式 其中 01 101 1( ) ( )tT jn tn tF n F f t e d tT ?? ? ??? ?， n 為從 ?? 到 ? 的整數。 典型周期信號的傅里葉級數 例 已知周期矩形脈沖 ()ft 如圖 13 所示，設脈沖的幅度為 A=1,寬度為 ? 重復周期為 T，試將其展開為復指數形式傅里葉級數，研究周期矩形脈沖的寬度 ? 和周期變化時，對其頻譜的影響。 ()ft E 1T t 1T? 2?? 2? 圖 13 矩形脈沖的波形 由課本得其傅里葉級數為：1111()()2jn tnnjn tnf t F enE Sa eT????????????????? 編寫 M 文件如下： n=50:50。 %設置仿真的頻率范圍 E=1。 tao=1。 T1=10。 w1=2*pi/T1。 x=n*tao/T1。 Cn=E*tao/T1*sinc(x)。 subplot(3,1,1),plot(abs(n*w1),abs(Cn)) xlabel(39。w139。),ylabel(39。Cn39。) title(39。tao=1,T1=1039。) tao=1。 T1=3。 w1=2*pi/T1。 x=n*tao/T1。 Cn=E*tao/T1*sinc(x)。 subplot(3,1,2),plot(abs(n*w1),abs(Cn)) xlabel(39。w139。),ylabel(39。Cn39。) title(39。tao=1,T1=339。) tao=2。 T1=10。 w1=2*pi/T1。 x=n*tao/T1。 Cn=E*tao/T1*sinc(x)。 subplot(3,1,3),plot(abs(n*w1),abs(Cn)) xlabel(39。w39。),ylabel(39。Cn39。) title(39。tao=2,T1=1039。) 由于 plot 函數是將離散的點之間 用直線連接起來，故用畫桿狀圖的函數來畫幅度譜，頻率 幅度譜圖像： 0 5 10 15 20 25 30 3500 . 0 50 . 1w1Cnt a o = 1 , T 1 = 1 00 20 40 60 80 100 12000 . 20 . 4w1Cnt a o = 1 , T 1 = 30 5 10 15 20 25 30 3500 . 10 . 2w1Cnt a o = 2 , T 1 = 1 0 圖 14 周期矩形脈沖的幅度譜 從圖中可看出脈沖寬度 ? 越大，信號頻譜帶寬越?。恢芷谠叫?，譜線之間的間隔越大。 傅里葉變換 前面已經討論了周期信號的傅里葉級數，并得到了它的離散頻譜，本節(jié)將傅里葉分析方法推廣到非周期信號，推導出傅里葉變換。 由 節(jié)的圖 14 周期矩形脈沖的幅度頻譜可知，當周期信號的周期 1T 無限增大，譜線的間隔 1? 變小，若周期 1T 趨于無限大，則譜線的間隔趨于無限小，這樣，離散頻譜就變成連續(xù)頻譜了。 由周期函數的頻譜推導的非周期函數的傅里葉正變換為： 1 111 22( ) lim ( )T jn tTTF f t e d t?? ??? ?? ? 即 ( ) ( ) jt