【文章內(nèi)容簡介】 較塊的收斂速度，有必要設(shè)計包含附加參數(shù)的更復(fù)雜的算法。特別是，如果矩陣 R 是 NN 的且特征值為，則可以使用一種含有 N 個參數(shù)的算法，其中每個參數(shù)對應(yīng)一個特征值。 在快速收斂算法的推導(dǎo)中，我們將采用最小二乘法。因此，將直接處理接收數(shù)據(jù)，使二次性能指數(shù)最小，而以 前是使平方誤差的期望值最小。這意味著，用時間平均而不是統(tǒng)計平均來表示性能指數(shù)。 基 于 時 間 平 均 的 最 小 平 方 誤 差 被 定 義 如 下 ： 222 式中，λ是接近 1,但是小于 1 的加權(quán)因子， e* i,n 是 e i,n 的復(fù)共軛，且誤差 e i,n 為： 223 且 式中， x i 是 i 時刻的輸入數(shù)據(jù)向量， w n 是 n 時刻的新的抽頭增益向量 。因而 e i,n 是用 n 時刻的抽頭增益向量測試 i 時刻的舊數(shù)據(jù)所得的誤差， J n 是在所有舊數(shù)據(jù)上用新抽頭增益所得的累計平方誤差。 要完成 RLS 算法就要找到均衡器的抽頭增益向量 w n ，使得累計平方誤差 J n 最小。為了測試新的抽頭增益向量，會用到那些先前的數(shù)據(jù)。而因子λ會在計算時更依賴于新近的數(shù)據(jù)，也就是說， J n 會丟掉非穩(wěn)定環(huán)境中的較舊的數(shù)據(jù)。如果信道是穩(wěn)定的，那么λ可以設(shè)為 1。為了獲得 J n 的最小值，可使 J n 的梯度為 0,即，通過運算可知： 225 式中，是 RLS 均衡其的最佳抽頭增益向量。 227 式 22 中的方陣 R n 是輸入數(shù)據(jù)向量 x i 的確定相關(guān)矩陣，式 22 中向量 P n 是輸入向量 x i 和期望輸出 d i 之間的確定互相關(guān)矩陣。要用式 2 計算均衡器的抽頭增益向量，就需要計算。 從式 22 中 R n 的定義可知，我們可以得到關(guān)于 R n1 的遞歸公式。 由于式 22 中的三項都是 N N 的方陣，我 們可以使用方程倒數(shù)的引理得到遞歸公式： 229 式中 230 根據(jù)上述遞歸公式，可知： 231 式中 232 初始化： 是一個正常數(shù) 計算： 對于 n 1,2?，計算 λ是一個可以改變均衡器性能的抽頭系數(shù)。如 果信道是非時變的，那么λ可 以設(shè)為 1。而通常的λ取值為 λ 1。λ值對收斂速率沒有影響，但是它影響 著 RLS 算法的跟蹤能力。λ值越小，均衡器的跟蹤能力更強。但是，如果λ值太小，均衡器將會不穩(wěn)定。第三章 自適應(yīng)濾波器的設(shè)計 無限沖激響應(yīng)（ IIR）濾波器 濾波器的基本原理 圖 31 為自適應(yīng) IIR 濾波器的基本結(jié)構(gòu)，其輸入為 x n ，輸出為 y n ，濾波器由可變系數(shù) IIR 濾波器和遞歸算法組成，遞歸算法通過預(yù)測誤差 e n 去調(diào)系數(shù)θ n ，以使輸出 y n 按某種準(zhǔn)則逼近于期望響應(yīng) d n 。θ為描 述濾波器具有零點和極點轉(zhuǎn)移函數(shù)的系數(shù)參數(shù)。濾波器輸出誤差 e n d n y n 是按某種準(zhǔn)則，如均方誤差 MSE 或遞歸最小二乘 RLS 準(zhǔn)則等，使 e2 n 最小化，可調(diào)整 IIR 系數(shù)使輸出信號 y n 逼近于期望響應(yīng) d n [1013]。 方程誤差結(jié)構(gòu)形式自適應(yīng) IIR 濾波器 圖 32 為方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器的結(jié)構(gòu)框圖，其差分方程表示式如式 31 ，可以看出，它被描述為非遞歸差分方程形式： 31 顯然，這里 ，都是待調(diào)整的系數(shù)，下標(biāo)“ e”表示方程誤差法以區(qū)別輸出誤差方法。 從式中可以看出，這是由兩個輸入單個輸出組成的濾波器。兩個輸為樣本輸入 x n 和期望輸入 d n ，輸出樣本沒有反饋回輸入端。所以，出是系數(shù)的線性函數(shù)，這大大簡化了梯度類算法，因為 d n ， x n 是系數(shù)的函數(shù)，則對系數(shù)的導(dǎo)數(shù)是非遞歸的，且易于計算。 利用延遲算子，式 31 可重新表述成更方便的形式： 32 式中，多項式表示時變?yōu)V波器，且有： ， 33 ， 34 值得注意的是 A n,q 中求和的下界從 m 1 開始，因此 A n,q d n 僅依賴于 d n 的延遲樣本，這種形式的表示法可用于在任何瞬時發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器 A n,q 的零點。例如圖 32 中，在每次系數(shù)更新后和系數(shù)被復(fù)制到逆濾波器 1/[1A n,q ]之前，有必要檢測 [1A n,q ]的零點，以確定逆濾波器是否是一穩(wěn)定系統(tǒng)。如果不是穩(wěn)定系統(tǒng)，則應(yīng)采取某種措施，如在逆濾波器形成之前將它的根投 影到單位圓內(nèi)等 [1317]。 方程誤差也是濾波器系數(shù)的線性函數(shù)，因此， 的均方函數(shù)是系數(shù)的二次函數(shù)。如果數(shù)據(jù)的相關(guān)陣非奇異，僅有一個全局最小點，則在很大程度上使方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器都像一個自適應(yīng) FIR 濾波器。而它們之間最主要的區(qū)別在于，方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器把逆濾波器 1/[1A n,q ]級聯(lián)到 B n,q 之后，它就是一個零點－極點模型，而自適應(yīng) FIR 濾波器因 A n,q 0，是一個嚴(yán)格的全零點模型。 方差誤差自適應(yīng) IIR濾波器與自適應(yīng) FIR濾波器具有相似的自適應(yīng)算法和相似的收 斂性解，收斂速度和系數(shù)的穩(wěn)定性都是由 Hessian 矩陣的特征值決定的。 差分方程式 31 還可以表示成內(nèi)積的矩陣形式： 35 上式右邊的系數(shù)矢量θ和信號矢量的長度都是 M+N1，并分別定義為： 36 37 表達式 35 具有線性回歸的形式，θ為對應(yīng)于待估計的參數(shù)，稱為包含測量 數(shù)據(jù)的回歸矢量。這樣表示的結(jié)果使得可以利用數(shù)理統(tǒng)計中的參數(shù)估計方法來對系數(shù)θ進行優(yōu)化，如用最大似然參數(shù)估計均方誤差方法、最小均方誤差 LMS 算法和遞歸最小二乘 RLS 方法等 [18]。 IIR 濾波器的一般結(jié)構(gòu) 根據(jù)前面所介紹的 IIR 濾波器的傳遞函數(shù)可表示為： 38 假設(shè)濾波器有 m 個零點， n 個極點，且濾波器參數(shù)可調(diào)，這樣 H z 可寫為： 39 圖 33 畫出了 IIR 濾波器的一般結(jié)構(gòu)，其輸入為 x，輸出為 u。 因此濾波器輸出可表示為以下形式： 310 有限沖激響應(yīng)（ FIR） FIR 橫向型濾波器的一般結(jié)構(gòu) 如圖所示。這種結(jié)構(gòu)僅包含有由延遲級數(shù)所決定的有限個存儲單元，可歸結(jié)為有限沖激響應(yīng)（ FIR）或橫向濾波器（ Kallman）。輸入信號被若干延遲單元延時，其延遲時間可以是連續(xù)的。這些延遲單元的輸出與存儲的一組權(quán)系數(shù)依次相乘，將其乘積相加得到輸出信 號。這意味著輸出是輸入信號與所存儲的權(quán)系數(shù)或沖激響應(yīng)的卷積。這種濾波結(jié)構(gòu)僅包含有零點（因為沒有遞歸反饋單元），因此，若要獲得銳截止的頻率特性，則需要有大量的延遲單元。不過，這種濾波器始終是穩(wěn)定的，并能提供線性相位特性。圖是橫向型濾波器的結(jié)構(gòu)示意圖。 FIR 橫向性濾波器的工作原理 如圖 34 所示， 其中： 自適應(yīng)濾波器的輸入 自適應(yīng)濾波器的沖激 相應(yīng)： 自適應(yīng)濾波器的輸入： 最常用的自適應(yīng)算法是最小均方誤差算法，即 LMS 算法 LMS 算法是一種易于實現(xiàn)、性能穩(wěn)健、應(yīng)用廣泛的算法。所有的 濾波器系數(shù)調(diào)整算法都是設(shè)法使 y n 接近 d n ,所不同的只是對于這種接近的評價標(biāo)準(zhǔn)不同。 LMS 算法的目標(biāo)是通過調(diào)整系數(shù)，使輸出誤差序列 e n d n y n 的均方差最小，并且根據(jù)這個判據(jù)來修改權(quán)系數(shù)，該算法也因此而得名。誤差序列的均方值又叫“均方誤差”（ MSE）。 均方誤差 e 定義為： 對于橫向結(jié)構(gòu)的濾波器，代入的表達式為： 其中為的自相關(guān)矩陣，它是輸入信號采樣值間的相關(guān)性矩陣。為互相關(guān)矢量，代表期望信號與輸入矢量的相關(guān)性。在均方誤差達到最小時，得到最佳權(quán)系數(shù)。它應(yīng)滿足下列方程 即： 這是一個線性方程組，如果矩陣為滿秩的，存在，可得到權(quán)系數(shù)的最佳值滿足 用完整的矩陣表示為： 顯然為的自相關(guān)值， 為與互相關(guān)值。在有些應(yīng)用中，把輸入信號的采樣值分成相同的段（每段稱為一幀），再求出、的估計值得到每幀的最佳權(quán)系數(shù)。這種方法稱為塊對塊自適應(yīng)算法。如語音信號的線性預(yù)測編碼 LPC 就是把語音信號分成幀進行處理的。、的計算，要求出期望值，在現(xiàn)實運算中不容易實現(xiàn)，為此可通過下試進行估計： 用以上方法獲得最佳運算量很大，對于一些在線或?qū)崟r應(yīng)用的場合，無法滿足其時間要求。大多數(shù)場合使用迭代算法，對每次采樣 值就求出較佳權(quán)系數(shù)，稱為采樣值對采樣值迭代算法。迭代算法可以避免復(fù)雜的和的運算，又能實時求得近似解，因而切實可行。 LMS 算法是以最快下降曲線為原則進行的迭代算法，即矢量是矢量按均方誤差性能平面的負(fù)斜率大小調(diào)節(jié)一個相應(yīng)增量，如下式所示： 式中是由系統(tǒng)穩(wěn)定和迭代運算收斂速度決定的自適應(yīng)步長。為次迭代的梯度。對于 LMS 算法為下式的斜率。 由上式產(chǎn)生了求解最佳權(quán)系數(shù)的兩種方法，一種是最陡梯度法。其思路為：設(shè)計初始權(quán)系數(shù)，用迭代公式計算，到與誤差小于規(guī)定范圍。其中的計算可用估計值表達式為： 上式取值應(yīng)足夠大。如果用瞬時來代替上面對的估計運算，就產(chǎn)生了另一種算法――隨機梯度法，此時迭代公式為： 上式的迭代公式假定濾波器結(jié)構(gòu)為橫向結(jié)構(gòu)。對于對稱橫向型結(jié)構(gòu)也可推出類似的迭代公式，如下式所示： IIR 濾波器和 FIR 濾波器的比較 自適應(yīng)技術(shù)廣泛地應(yīng)用于自適應(yīng)控制、雷達、系統(tǒng)辯識和信號處理等領(lǐng)域。自適應(yīng)濾波器由參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器 或稱為自適應(yīng)處理器 和自適應(yīng)算法兩部分組成，如圖 22 所示，參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器可以是 FIR 數(shù)字濾波器或 IIR 數(shù)字濾波器，也可以是格型數(shù)字濾波器。輸入信號 x n 通過參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號 或響應(yīng) y n ，將其與參考信號 或稱期望響應(yīng) d n 進行比較，形成誤差信號 e n 。 有時還要利用 通過某種自適應(yīng)算法對濾波器參數(shù)進行調(diào)整 ,最終使 e n 的均方值最小。在設(shè)計時不需要事先知道關(guān)于輸入信號和噪聲的統(tǒng)計特性的知識，它能夠在自己的工作過程中逐漸“了解”或估計出所需的統(tǒng)計特性 ,并以此為依據(jù)自動調(diào)整自己的參數(shù) ,以達到最佳濾波效果。一旦輸入信號的統(tǒng)計特性發(fā)生變化，它又能夠跟蹤這種變化 ,自動調(diào)整參數(shù) ,使濾波器重新達到最佳。 介于上述對兩 種不同類型結(jié)構(gòu)的濾波器的介紹，我們有了大概的一個了解！IIR 濾波器的首要優(yōu)點是可在相同階數(shù)時取得更好的濾波效果。但是 IIR 濾波器設(shè)計方法的一個缺點是無法控制濾波器的相位特性。由于極點會雜散到穩(wěn)定區(qū)域之外，自適應(yīng) IIR 濾波器設(shè)計中碰到的一個大問題是濾波器可能不穩(wěn)定。因此，一般采用 FIR 濾波器作為自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)。 第四章 MATLAB 語言介紹 當(dāng)計算涉及矩陣運算或畫圖時，利用 FOTRRAN 和 C 語言等計算機語言進行程序設(shè)計是一項很麻煩得工作，不僅需要對所利用的有關(guān)算法有深刻的了解，還需要熟 練掌握所用語言的語法和編程技巧，州沙汀 ALAB 正是為了免除上述局面產(chǎn)生的，它是集命令翻譯，科學(xué)計算于一身的一套交互軟件系統(tǒng)，在 MATLAB下，矩陣的運算變得異常的容易，后來又增添了豐富多彩的圖形處理及多媒體功能，使得 MAI， LAB 的應(yīng)用范圍越來越廣泛。 MATLAB 具有強大的語言功能，它允許用戶以數(shù)學(xué)形式的語言編寫程序，比BASIC、 FOTRRAN 和 C 等語言更接近于書寫計算公式的思維方式。它的操作和功能函數(shù)指令是以平時計算機和數(shù)學(xué)書上的簡單英文單詞表達的。由于它在很長一段時間內(nèi)是用 C 語言開發(fā)的，它的不多的幾 個程序流控制語句同語言差別甚微，初學(xué)者很容易掌握。 MATLAB 語言的幫助系統(tǒng)也近乎完備，用戶可以方便的查詢到想要的各種信息。另外， MATLAB 還專門為初學(xué)者提供了功能演示窗口，用戶可從中得到 感興