【文章內(nèi)容簡介】 則我們可以確定二階 Volterra級數(shù) M 階濾波器表達(dá)式為： ()yn =111 1 10 ( ) ( )Mm w m u n m?? ??+12112 1 2 1 200 ( , ) ( ) ( )MMmm w m m u n m u n m???? ???? （ ） Volterra 級數(shù)與冪級數(shù) 在非線性自適應(yīng)濾波理論中， Volterra 級數(shù)理論是研究投入最大、研究成果最多、應(yīng)用最廣泛的具體理論知識， Volterra 級數(shù)理論的本質(zhì)優(yōu)勢在于它和冪級數(shù)有著很多類似的地方與緊密的聯(lián)系，這使它更容易被科學(xué)研究人員與技術(shù)工程人員掌握與接受。 Volterra 級數(shù)理論的現(xiàn)實(shí)物理意義非常鮮明，在工程技術(shù)領(lǐng)域與實(shí)際非常切合，在面對實(shí)際的非線性問題， Volterra 級數(shù)是一個(gè)非常有效的工具與方法。 針對式（ ）中的核函數(shù)，我們不妨設(shè)它為 12( , ,... )pnw ? ? ? = 12( ) ( )... ( )nna ? ? ? ? ? ? （ ） 將該函數(shù)核帶回原式，我們可以得到 ??yt = ? ? ? ? ? ?120 . . . . . . ( )n n i in a x t d? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?=0 ()nnn ax t??? 這時(shí)我們可以看到，經(jīng)過上述變化 Volterra 級數(shù)已經(jīng)退化成為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)，所以我們可以得到結(jié)論： Volterra 級數(shù)模型是冪級數(shù)的推廣。 11()wm12( , ,..., )ppw m m m 6 其他非線性自適應(yīng)濾波器 隨著研究的不斷深入 ，人們發(fā)現(xiàn)了線性自適應(yīng)濾波器在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的諸多不足。因此在近幾十年，非線性自適應(yīng)濾波器成為濾波器領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。 由于產(chǎn)生背景的不同，現(xiàn)階段的非線性濾波器種類較為豐富，除了現(xiàn)在我們常用的 Volterra 非線性自適應(yīng)濾波器外，現(xiàn)有的非線性濾波器還有：同態(tài)濾波器、排序統(tǒng)計(jì)濾波器、形態(tài)濾波器、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。 同態(tài)濾波器。同態(tài)濾波器是最早被提出的一類非線性濾波器，它的提出是用來濾除與信號相關(guān)聯(lián)（卷積或乘積）的非加性噪聲。它的基本理論是充分使用非線性系統(tǒng)模型，將卷積或乘積在有用信號的非線性信號組合變?yōu)榧有孕盘柦M，然后按 照要求對加性信號組合進(jìn)行線性濾波，最后再使用非線性逆系統(tǒng)對線性濾波后的信號進(jìn)行逆變換，從而得到整體同態(tài)濾波器系統(tǒng)的輸出。現(xiàn)階段，同態(tài)濾波器主要用于圖像、地震信號和語音信號的處理。 排序統(tǒng)計(jì)濾波器。排序統(tǒng)計(jì)濾波器是囊括了一大類種類豐富的非線性濾波器，它的理論基礎(chǔ)是排序統(tǒng)計(jì)學(xué)知識。在排序?yàn)V波器中，最為著名的是中值濾波器。中值濾波器以穩(wěn)健估計(jì)理論為理論基礎(chǔ)，其改進(jìn)型濾波器的研究在近年取得了較大進(jìn)步。此外，層疊濾波器因其具有層疊組合特性與閾值分解特性、可將多值信號分解為二值序列而用于并行實(shí)時(shí)處理的特點(diǎn)而成為研究熱點(diǎn) ?，F(xiàn)階段，排序統(tǒng)計(jì)濾波器的研究重點(diǎn)是其快速算法的研究和專用 VLSI 芯片的開發(fā)。 形態(tài)濾波器。形態(tài)濾波器是一種較為新型的非線性濾波器，它發(fā)源于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)，它通過選擇較小的圖像特征集合（結(jié)構(gòu)元， Structuring element）與數(shù)字圖像相互作用來實(shí)現(xiàn)非線性信號處理，是現(xiàn)階段很具有發(fā)展前景的非線性濾波器之一。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種通過模仿和拓展人類大腦思維、意識、智能等功能來實(shí)現(xiàn)非線性信號處理的非線性自適應(yīng)濾波器。為了面對動態(tài)的非線性背景，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)能夠持續(xù)學(xué)習(xí)，因此，怎樣使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的行為與它所處的行 為空間的輸入信號變化相適應(yīng)的是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究領(lǐng)域研究的重點(diǎn)。 線性自適應(yīng)算法 根據(jù)前文 Volterra 級數(shù)模型的基本理論， Volterra 級數(shù)是線性系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)模型在非線性系統(tǒng)中的推廣，并且 Volterra 級數(shù)模型正因?yàn)榫哂羞@種優(yōu)良性質(zhì)而成為非線性濾波領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)并得到廣泛應(yīng)用。所以，研究線性自適應(yīng)算法的基礎(chǔ)理論知識對進(jìn)行基于 Volterra 自適應(yīng)濾波器的噪聲抵消器具體設(shè)計(jì)的研究具有十分重要的意義。 最小均方自適應(yīng) LMS 算法 最小均方自適應(yīng) LMS 算法是現(xiàn)在被廣泛使用的一種線性自適 應(yīng)算法，該算法在 1960 年由 Hoff 與 Widrow 首次提出。 LMS 算法因具有結(jié)構(gòu)簡單、實(shí)用性強(qiáng)的特點(diǎn)，如今已經(jīng)成為線性自適應(yīng)濾波算法的具體參照。 在 LMS 算法提出之前，人們已經(jīng)提出了最小均方自適應(yīng)最陡下降法。這種算法需要對每次迭代的梯度向量 J? 的精確測量來得到收斂于維納解的抽頭權(quán)向量。但是這種精確測量是以了解抽頭輸入的相關(guān)矩陣 R 和抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的互相關(guān)向量 p 為前提，因而在未知環(huán)境中，這種精確測量沒有現(xiàn)實(shí)可行性，必須使用 已知信號估計(jì)梯度向量。這種以估計(jì)梯度向量 為基礎(chǔ)的最陡下降^ ()Jn? 7 法表達(dá)式為： ( 1)wn? = ()wn— ? ^ ()Jn? （ ） 與普通的梯度估計(jì)方法需要各自測抽頭權(quán)值在擾動只有的 2 個(gè)均方估計(jì)誤差不同， LMS 算法則是使用來自于單次采樣得到的 作為均方誤差 ，得到估計(jì)梯度。這種梯度估計(jì)的方法被稱為瞬時(shí)梯度估計(jì)。 我們定義濾波器的抽頭輸入向量為 u(n)，抽頭權(quán)向量為 w(n)，同時(shí)定義 d(n)為期望響應(yīng)，所以濾波器的輸出相應(yīng) y(n)為 ()yn = ()Twn()un （ ） 誤差信號 e(n)為 ()en = ()dn— ()yn （ ） 我們可以得到梯度估計(jì) ^ ()Jn? = 2()()enwn?? = 2[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ]() T T Td n w n u n u n w n d n u n w nwn? ??? = 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )Tu n u n w n d n u n? （ ） = 2 [ ( ) ( ) ( ) ] ( )Td n u n w n u n?? = 2 ( ) ( )e n u n? 將結(jié)果帶入（ ），我們可以得到利用瞬時(shí)梯度估計(jì)的最陡下降法的迭代公式為 ( 1)wn? = ()wn+2? e(n)u(n) （ ） 其中， 為收斂步長，用來控制自適應(yīng)濾波器的收斂速度與穩(wěn)定性。（ ）給出的自適應(yīng)濾波器抽頭權(quán)向量自適應(yīng)迭代算法被稱作 LMS 算法。 遞歸最小二乘 RLS 算法 與之前討論的基于最小均方誤差準(zhǔn)則的 LMS 算法不同，遞歸最小二乘（ RLS）算法是基于最小二乘準(zhǔn)則的算法。最小均方誤差準(zhǔn)則是在統(tǒng)計(jì)平均意義上使濾波器的輸出與期望響應(yīng)誤差的平方最小，而最小二乘準(zhǔn)則是針對一組數(shù)據(jù)，使濾波器輸出與期望響應(yīng)誤差的平方和最小。由此我們可以得出：基于最小均方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的最優(yōu)濾波器是針對具有相同統(tǒng)計(jì)特性的一種數(shù)據(jù)，而基于最小二乘準(zhǔn)則得到的最優(yōu)濾波器是針對一組給定的數(shù)據(jù)，并且基于最小二乘準(zhǔn)則得到的最優(yōu)濾波器具有確定性。 遞歸最小二乘（ RLS）算法是基于 最小二乘準(zhǔn)則的一種經(jīng)典自適應(yīng)算法，它以增加計(jì)算的復(fù)雜程度為代價(jià)改善了收斂速度，使該算法的收斂速度比一般的LMS 自適應(yīng)算法快一個(gè)數(shù)量級。 2()en ()Jn? 8 遞歸最小二乘算法利用了給定的初始條件，根據(jù)新的數(shù)據(jù)對舊的估計(jì)進(jìn)行更新，其數(shù)據(jù)長度對應(yīng)于當(dāng)前觀測時(shí)刻 n。另外，基于 RLS 算法的橫向?yàn)V波器的階數(shù)保持不變。根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則知識，基于最小二乘準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)為 ()n? = 21 ()n nii ei?? ?? （ ） 其中，λ為加權(quán)因子， 0λ≤ 1； e(i)為 i 時(shí)刻自適應(yīng)濾波器的估計(jì)誤差。 e(i)=d(i)— ( ) ( )Tw nui （ ） 根據(jù)最小二乘濾波器正則方程，該濾波器的最優(yōu)權(quán)向量應(yīng)滿足 ^()wn= 1( ) ( )n z n?? （ ） 其中 ()n? = ( ) ( ) ( )TA n n A n? （ ） 為 i 時(shí)刻輸入向量 u(i)的時(shí)間平均自相關(guān)矩陣； Z(n)= TA ?（ n) (n)d(n) （ ） 為 i 時(shí)刻輸入向量 u(i)與期望響應(yīng) d(i)的時(shí)間平均互相關(guān)。 因?yàn)橹苯忧笕V波器權(quán)向量最優(yōu)值的運(yùn)算量非常大，所以我們采用遞推的方式減少運(yùn)算量。 我們定義 的遞歸公式為 ()n? =?? ( 1)n? + ( ) ( )Tu nu n （ ） 同時(shí)，我們定義 C(n)= 1()n?? （ ） g(n)= 11 ( 1) ( )1 ( ) ( 1) ( )TC n u nu n C n u n??????? （ ） C(n)為逆相關(guān)矩陣； g(n)為增益向量。 經(jīng)整理得： C(n)= 11( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )TC n g n u n C n????? ? ? （ ） 另外，我們定義互相關(guān)向量 z(n)= ( 1) ( ) ( )z n u n d n? ?? （ ） 最后，我們整理得到 RLS 算法的抽頭權(quán)向量遞歸公式為 ^()wn= ^^( 1 ) ( ) [ ( ) ( ) ( 1 ) ]Tw n g n d n u n w n? ? ? ? （ ） 式（ ）、（ ）、（ ）構(gòu)成了基本的遞歸最小二乘（ RLS）算法。 其他線性自適應(yīng)算法 歸一化 LMS算法。歸一化 LMS算法濾波器的基本結(jié)構(gòu)與 LMS算法濾波器相同。()n? 9 在 LMS 算法中，濾波器抽頭權(quán)向量的修正大小與輸入向量 u(n)呈正比，所以，若輸入向量較大，基于 LMS 算法濾波 器的梯度噪聲將會放大，歸一化 LMS 算法就是針對這一問題設(shè)計(jì)的。在歸一化 LMS 算法中，第 n+1 次迭代式抽頭權(quán)向量的修正量由輸入向量的平方歐幾里得范數(shù)進(jìn)行歸一化，因此將獲得比 LMS 算法更快的收斂速度。 塊 LMS 算法。把濾波器的輸入向量 u(n)輸入串 /并轉(zhuǎn)換裝置分為以 L為長度的塊，再將數(shù)據(jù)以 1 塊 /次的方式輸入橫向?yàn)V波器，濾波器的長度為 M，每輸入 1塊數(shù)據(jù)，濾波器的抽頭權(quán)值就更新一次，這樣的濾波器結(jié)構(gòu)就是我們所說的塊LMS 算法。與基本 LMS 算法相比，塊 LMS 算法所采取的平均梯度向量估計(jì)更為精確，因而獲得了更快的收斂速 度。 本章小結(jié) 本章介紹了 Volterra 級數(shù)模型的基本原理，通過對 Volterra 級數(shù)理論特性的討論，認(rèn)識到基于 Volterra 級數(shù)理論的非線性濾波器在現(xiàn)實(shí)問題處理中具有很大的優(yōu)勢。與此同時(shí)，系統(tǒng)研究了線性自適應(yīng)算法，介紹了現(xiàn)階段非線性自適應(yīng)濾波器的發(fā)展?fàn)顩r，為后續(xù)基于 Volterra 自適應(yīng)濾波器的噪聲抵消器的具體設(shè)計(jì)提供了算法理論基礎(chǔ)。 10 3 基于自適應(yīng)濾波器的噪聲抵消原理 基于自適應(yīng)濾波器的噪聲抵消的研究意義 當(dāng)我們使用濾波器對信號和干擾噪聲的混合波形 進(jìn)行濾波使噪聲得到抑制而獲得相對不變的信號時(shí)，需要對波形進(jìn)行估計(jì)才能獲得相應(yīng)的最優(yōu)濾波器，要求我們必須掌握信號與噪聲的先驗(yàn)知識，這限制了濾波器設(shè)計(jì)的客觀實(shí)用性。而與普通的濾波器不同，若使用自適應(yīng)濾波器進(jìn)行噪聲抵消，我們不需要